[BZOJ1408][Noi2002]Robot（数论+dp）

最新推荐文章于 2019-07-13 22:50:33 发布

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本文解析了一道涉及数论的题目，通过分析独立数（欧拉函数φvarphi）和约数的关系，提出了一个高效的算法解决方案。利用递归思想预计算所有可能的情况，并通过动态规划的方法进行状态转移。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述

传送门

题解

独立数就是 $\varphi$ ，然后老师就是约数
所以实际上就是求
所有由偶数个奇素数组成的数的 $\varphi$ 的和
所有由奇数个奇素数组成的数的 $\varphi$ 的和
所有约数的 $\varphi$ 的和减去前面两个答案

所有约数的 $\varphi$ 的和用一个公式 $\sum\limits_{d|n}\varphi(d)=n$ ，不算1就是n-1
因为所有的数都是互质的，所以一个数的 $\varphi$ 可以表示成所有素数的 $\varphi$ 的积
然后f(i,1/2)表示前i个，选了奇数/偶数个质数的所有方案的 $\varphi$ 的积的和，然后就可以转移了

代码

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
#define Mod 10000
#define N 1005

int k,m,e,st;
int p[N],f[N][3];

int fast_pow(int a,int p)
{
    int ans=1;
    for (;p;p>>=1,a=a*a%Mod)
        if (p&1)
            ans=ans*a%Mod;
    return ans;
}
int main()
{
    scanf("%d",&k);m=1;
    for (int i=1;i<=k;++i)
    {
        scanf("%d%d",&p[i],&e);
        m=m*fast_pow(p[i],e)%Mod;
    }
    if (p[1]==2) st=2;
    else st=1;
    f[st][1]=p[st]-1;
    for (int i=st+1;i<=k;++i)
    {
        f[i][1]=f[i-1][2]*(p[i]-1)+f[i-1][1]+p[i]-1;
        f[i][1]%=Mod;
        f[i][2]=f[i-1][1]*(p[i]-1)+f[i-1][2];
        f[i][2]%=Mod;
    }
    m=((m-1-f[k][1]-f[k][2])%Mod+Mod)%Mod;
    printf("%d\n%d\n%d\n",f[k][2],f[k][1],m);
}