[Codeforces2015ICL,Finals,Div. 1#J]Ceizenpok's formula（扩展Lucas定理+中国剩余定理）

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本文介绍了一道组合数学题目，该题目利用扩展Lucas定理和中国剩余定理解决。通过代码实现展示了如何高效计算组合数在特定模意义下的值。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述

传送门

题解

扩展Lucas定理+中国剩余定理模板题。

代码

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
#define LL long long

LL n,m,MOD,ans;

LL fast_pow(LL a,LL p,LL Mod)
{
    LL ans=1LL;
    for (;p;p>>=1,a=a*a%Mod)
        if (p&1)
            ans=ans*a%Mod;
    return ans;
}
void exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
    if (!b) x=1LL,y=0LL;
    else exgcd(b,a%b,y,x),y-=a/b*x;
}
LL inv(LL A,LL Mod)
{
    if (!A) return 0LL;
    LL a=A,b=Mod,x=0LL,y=0LL;
    exgcd(a,b,x,y);
    x=((x%b)+b)%b;
    if (!x) x+=b;
    return x;
}
LL Mul(LL n,LL pi,LL pk)
{
    if (!n) return 1LL;
    LL ans=1LL;
    for (LL i=2;i<=pk;++i)
        if (i%pi) ans=ans*i%pk;
    ans=fast_pow(ans,n/pk,pk);
    for (LL i=2;i<=n%pk;++i)
        if (i%pi) ans=ans*i%pk;
    return ans*Mul(n/pi,pi,pk)%pk;
}
LL C(LL n,LL m,LL Mod,LL pi,LL pk)
{
    if (m>n) return 0LL;
    LL a=Mul(n,pi,pk),b=Mul(m,pi,pk),c=Mul(n-m,pi,pk);
    LL k=0LL,ans;
    for (LL i=n;i;i/=pi) k+=i/pi;
    for (LL i=m;i;i/=pi) k-=i/pi;
    for (LL i=n-m;i;i/=pi) k-=i/pi;
    ans=a*inv(b,pk)%pk*inv(c,pk)%pk*fast_pow(pi,k,pk)%pk;
    return ans*(Mod/pk)%Mod*inv(Mod/pk,pk)%Mod;
}
int main()
{
    scanf("%I64d%I64d%I64d",&n,&m,&MOD);
    for (LL x=MOD,i=2;i<=MOD;++i)
        if (x%i==0)
        {
            LL pk=1LL;
            while (x%i==0) pk*=i,x/=i;
            ans=(ans+C(n,m,MOD,i,pk))%MOD;
        }
    printf("%I64d\n",ans);
}