CF1553(Div.1+Div.2) I 题解

前言

由于 NTT 是 $10$ 级算法，所以本篇题解仅介绍到 $O(n^2)$ 解法。

Description

给定一个长度为 $n$ 的排列 $p$。

令其中第 $i$ 个位置的权值为最长的包含 $i$ 的单调区间。例如，$p=[4,1,2,3,7,6,5]$ 中，第 $6$ 个位置的权值为 $[5,7]$ 的长度，第 $2$ 个位置的权值为 $[2,4]$ 的长度。

将这些权值依次拼在一起，就得到了 $p$ 的阶梯序列。

给定 $a$，你需要求出存在多少个 $p$，使得 $a$ 为 $p$ 的阶梯序列。

$1\le n\le 10^5$，时限 $\text{10s}$，空限 $\text{1GB}$。

Solution

Part 1: 性质的分析与观察

根据阶梯序列的定义，$a_i$ 是 $i$ 所属的极长单调区间长度。但是 $i$ 既可以是这段区间的中间某个位置，也可以是两端的位置，考虑起来情况较多，较为困难。于是我们先考虑第一个位置，其只能作为单调区间的开头，思考起来较为容易。

令 $x=a_1$。不难发现，此时 $[1,x]$ 是一个极长单调区间。接下来，我们再考虑 $p_{x+1}$，并令 $x^{\prime }=a_{x+1}$。不难发现，$p_{x+1}$ 不能与 $[1,x]$ 合并成一个新的单调区间，且 $[x+1,x+x^{\prime }]$ 也是一个极长的单调区间。以此类推，我们将序列划分为了若干个极长的单调区间。这样一来，我们就成功地将问题转化为：给定若干个区间，你需要往里面填数，使得序列构成一个排列，且每个给定的区间都是一个极长的单调区间，求方案数。

如果区间只要求单调，不要求极长，那么问题就十分简单了。由于每个区间的 $p_i$ 在值域上都是连续的一段 $[L,R]$，所以我们只需要钦定这些 $[L,R]$ 的大小关系以及这些极长区间的增减性即可唯一确定 $p$。方案数不难通过组合数以及乘法原理写出。

若要求极长，问题变了复杂了起来。

注意到，若两段区间不可合并，那么限制会较为复杂；若必须合并，那么限制非常简单。这启发我们从反面考虑。但是，不可合并的相邻区间对太多了，这又启发我们容斥地计算。然而 $n$ 较大，不能 $2^n$ 地枚举相邻对。

能否 $\text{dp}$ 呢？

Part 2: dp 的设计与转移

为方便叙述，定义 $s_i$ 表示第 $i$ 个区间的长度。

令 $f_i$ 表示，仅考虑前 $i$ 个区间的方案数。

根据容斥的基本思想，对于第 $i+1$ 个位置，它有两种选择：

• $\text{violate the rule}$——它与前面的区间可以合并；
• $\text{follow the rule or not}$——无论它填什么都可以。

考虑动态地将第 $i+1$ 个区间插入进前 $i$ 个区间的按值域左端点排序的序列。然而，无论对于前者（违反规则）还是后者（随意），插入的位置数似乎较难根据 $i$ 直接确定（若插入到某个不恰当的位置，可能会将原来两个合并的区间断开）。

仔细分析——对于前者而言，若前面一个区间长度为 $1$，那么插入的位置有 $2$ 个，否则只有 $1$ 个；对于后者而言，令 $j$ 为前 $i$ 个区间中钦定可合并的次数，那么插入的位置树为 $i-j+1$ 个。

从而，我们加维度 $j$，表示目前钦定合并的次数。同时，再加一维 $k$，表示上一个区间的长度是否为 $1$。

总结一下最终的状态设计：令 $f_{i,j,k}$ 表示，看了前 $i$ 个区间，合并 $j$ 次，上一个区间的长度为 $1$ 或不为 $1$ 的方案数。注意，这里的上一个区间长度不一定是 $s_{i-1}$，而可能是一个比它更大的值（因为 $s_{i-1}$ 可能参与了多次合并，而使得上一个区间的长度较大）。

转移如下：

• 钦定合并。
  $$f_{i-1,j,0}\to f_{i,j+1,0}$$$$2f_{i-1,j,1}\to f_{i,j+1,0}$$

• 钦定不合并。

  • 若 $s_i\ne 1$，则
    $$2(i-j)f_{i-1,j,0/1}\to f_{i,j,0}$$

  • 若 $s_i=1$，则
    $$(i-j)f_{i-1,j,0/1}\to f_{i,j,1}$$

这里容易出现一个错误，就是在转移的时候漏掉系数 $2$。由于长度超过 $1$ 的区间的单调增与单调减是不同的，所以在向第三维为 $0$ 的状态转移时，要额外乘上一个 $2$。

边界:
①若 $s_1\ne 1$，$f_{1,0,0}=2$
②若 $s_1=1$，$f_{1,0,1}=1$。
答案：

$$\sum _{i=0}^{\text{len}}(-1{)}^i(f_{n,i,0}+f_{n,i,1})$$

时间复杂度 $O(n^2)$。

//https://codeforces.ml/contest/1553/submission/123423493
for (int i=2;i<=len;i++){
	for (int j=0;j<=len;j++){
		chksum(f[i-1][j][0],f[i][j+1][0]);
		chksum(f[i-1][j][1],f[i][j+1][0],2);
		if (s[i]!=1){
			for (int k=0;k<2;k++)  chksum(f[i-1][j][k],f[i][j][0],2*(i-j));	
		}
		else{
			for (int k=0;k<2;k++)  chksum(f[i-1][j][k],f[i][j][1],i-j);
		}
	}
}