本文介绍了一种通过交换边权来优化从节点1到节点n的最短路径的方法。利用DP技术和图算法如Dijkstra或SPFA，文章详细阐述了如何在限定次数内交换边权以达到最小化路径长度的目的。
Description
给定一个 nnn 个点，mmm 条边的无向图，每条边都有一个长度。你可以至多做 kkk 次操作，每次操作中选定两条不同的边并将它们的长度交换。
你需要求出，从 111 到 nnn 的最短路的最小值。
Solution
首先，假设我们已经找到了一条路径，我们必然会将路径上后 kkk 大的边替换为未选择的边中前 kkk 小的边。也就是说，存在某个阈值 LLL，若边权 ≤L\le L≤L 那么它一定被最终选择，若 >L>L>L 那么它可能会被中途替换掉。
枚举 LLL 并考虑 dp\text{dp}dp。
令 fu,i,jf_{u,i,j}fu,i,j 表示，目前走到了点 uuu，边权不超过 LLL 的边选了 iii 条（不包含被换入的边），总共使用了 jjj 次魔法；在此前提下，所有边权超过 LLL 且被选定的边（不包含被换出的边）的长度之和的最小值。
对于某一条边 (u,v,w)(u,v,w)(u,v,w)，它能产生下面的转移：
-
若 w≤Lw \le Lw≤L，那么 fu,i,j→fv,i+1,jf_{u,i,j} \to f_{v,i+1,j}fu,i,j→fv,i+1,j
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若 w>Lw>Lw>L，
-
若不将此边替换，那么 fu,i,j+w→fv,i,jf_{u,i,j}+w \to f_{v,i,j}fu,i,j+w→fv,i,j
-
若替换此边，那么 fu,i,j→fv,i,j+1f_{u,i,j} \to f_{v,i,j+1}fu,i,j→fv,i,j+1
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边界: fu,0,0=1f_{u,0,0}=1fu,0,0=1
答案: fn,i,j+∑i=1mwi×[wi≤L]f_{n,i,j}+\sum_{i=1}^m w_i \times [w_i \le L]fn,i,j+∑i=1mwi×[wi≤L]
注意到这个 dp\text{dp}dp 是有后效性的，所以我们建立出一个包含 nmknmknmk 个点的图，在此图上用 Dijkstra 或 SPFA 跑最短路即可。
同时，我们并不需要在 [0,109][0,10^9][0,109] 中随意枚举 LLL，我们只需令 LLL 为各条边的边权即可。
总复杂度 O(nm2k)O(nm^2k)O(nm2k)，注意剪枝。
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