PKUSC 2021 D1T1 题解

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矩阵

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本文介绍了一种计算n×n矩阵经过特定变换t次后的元素值的方法，利用递推公式和矩阵乘法技巧，实现复杂度为O(n²+logk)的解决方案，适合大规模矩阵操作。

Description

给定矩阵 $a$ 。

定义一次变换如下: 对于每一个 $a_{i,j}$ ，同时将其变为
$∑k=1nai,k+∑k=1nak,j\sum_{k=1}^n a_{i,k}+\sum_{k=1}^n a_{k,j}$

求变换 $t$ 次后， $a$ 的每一位是多少。

$\le n \le 1000,0 \le t \le 10^9$

Solution

我们构造一个 $\times n$ 矩阵 $G$ ，其每一位都是 $1$ 。令 $A^{r}$ 表示对 $A$ 进行行变换（即 $∀ai,j\forall a_{i,j}$ ，将其变为第 $i$ 行所有数的和）， $A^{c}$ 表示对 $A$ 进行列变换（即 $∀ai,j\forall a_{i,j}$ ，将其变为第 $j$ 列所有数的和），则有

$A^{r}=AG \\ A^{c}=GA$

令 $A^{'}$ 表示对 $A$ 进行变换，则
$A^{'} = A G + G A$

从而
$A''=AG^2+2GAG+G^2A$

更进一步的

$A(k)=∑i=0k(ki)GiAGk−iA^{(k)}=\sum_{i=0}^k {k \choose i} G^i A G^{k-i}$

我们考虑 $G^x A G^{k-x}$ 是什么。首先，不难发现 $G^x$ 是一个满足 $∀Gi,j=nx−1\forall G_{i,j}=n^{x-1}$ 的矩阵，从而

$(GxA)i,j=∑w=1nnxAw,j=nx∑w=1nAw,j\left(G^x A\right)_{i,j}=\sum_{w=1}^n n^x A_{w,j}=n^x \sum_{w=1}^n A_{w,j}$

从而
$(GxAGk−x)i,j=∑w=1n(GxA)i,wGw,jk−x=∑w=1nnk−x−1nx−1∑p=1nAp,w=nk−2∑w=1n∑p=1nAp,w=nk−2×Sum(A)\begin{aligned} \left(G^x A G^{k-x} \right)_{i,j} &=\sum_{w=1}^n (G^x A)_{i,w} G^{k-x}_{w,j} \\ &= \sum_{w=1}^n n^{k-x-1} n^{x-1} \sum_{p=1}^n A_{p,w} \\ &=n^{k-2} \sum_{w=1}^n \sum_{p=1}^n A_{p,w} \\ &= n^{k-2} \times Sum(A)\end{aligned}$