CF405E Graph Cutting 题解

Description

给定一个包含 $n$ 个点 $m$ 条边的图 $G$，你需要将 $G$ 划分为许多条长度为 $2$ 的链，使得每条边都被恰好覆盖 $1$ 次。

$1\le n,m\le 10^5$

Solution

算法一

首先，我们思考，对于一棵树该如何处理。

考虑 $\text{dfs}$。

令当前搜到了节点 $u$，我们先向每个孩子 $v$ 递归。对于当前的孩子 $v$，若其子树无法完全匹配且存在一条剩下的边 $(v,w)$，我们将 $(u,v,w)$ 连成一条链；对于所有子树完全匹配的 $v$，令这些 $v$ 分别为 $v_1,v_2,\cdots ,v_x$，则将 $(v_1,u,v_2)$，$(v_3,u,v_4),\cdots$ 分别连出一条链，从而我们就完成了以 $u$ 为根的子树内的匹配。注意，若 $x$ 为奇数，则暂时保留 $(u,v_x)$，将其作为 $u$ 子树中唯一剩下的边。

显然，最终根节点处不存在剩下的边，当且仅当 $m$ 是偶数。同时，当 $m$ 是奇数的时候，一定不存在一组合法解，从而我们证明了本做法的正确性。

时间复杂度 $O(n+m)$。

算法二

我们解决了一棵树的情况，能否搬到图上呢？答案是可以的。

其实，我们只需要执行一次图上深搜，每次枚举 $u$ 的出边 $(u,v)$，若 $v$ 未被访问过则进行递归处理即可。

时间复杂度 $O(n+m)$。