ACL Beginner Contest F(Heights and Pairs)题解——分治NTT

最新推荐文章于 2024-08-25 10:00:52 发布

原创最新推荐文章于 2024-08-25 10:00:52 发布 · 309 阅读

1 ·

CC 4.0 BY-SA版权

Description

一个序列有 $2 n$ 个数，现在你要在这个序列中配得 $n$ 个无序数对，使得每一对的两个数不同且每个数都在恰好 $1$ 个对中。

请求出合法配对的方案数。注意 $(1, 3) (2, 4)$ 与 $(2, 4) (1, 3)$ 这两种配对方式是等价的。

请将答案对 $998244353$ 取模。

$n≤50000,a_i≤10^5$

Solution

考虑 $d p$ 。

如果按照整个序列去进行 $d p$ 的话很难设计出合理的状态，所以考虑开桶 $d p$ ，并令 $v_i$ 表示第 $i$ 个桶的大小。根据题意，每一个桶中的数不能进行匹配，不难得到状态设计与状态转移：

$dp_{i,j}$ 表示看到第 $i$ 个桶(即已经处理了 $1$ 至 $i$ 号桶)，还剩 $j$ 个人未匹配的方案数。

状态转移如下:
$dpi−1,j−(vi−k)+kdp_{i,j}=\sum_{k=0}^{v_i}\ C_{v_i}^k\ A_{j-(v_i-k)+k}^k\ dp_{i-1,j-(v_i-k)+k}$

解释一下这个状态转移。 $k$ 枚举的是在 $i$ 这个桶内与前面匹配掉的数的数量。 $C_{v_i}^k$ 表示在第 $i$ 个桶中选择 $k$ 个与前面进行匹配。由于看到第 $i$ 个桶还剩 $j$ 个数未匹配，第 $i$ 个桶本身对“未匹配的量”的贡献是 $v_i-k$ ，并且前面还要多留 $k$ 个数与第 $i$ 个桶选中的数进行匹配，所以之前未匹配的数的数量应该是 $j-(v_i-k)+k$ 。在这个里面选 $k$ 个数与第 $i$ 个桶中选定的 $k$ 进行匹配的方案数为 $A_{j-(v_i-k)+k}^k$ 。

每次暴力转移的时间复杂度是 $O(n^3)$ 的，严重超时。我们先尝试将它优化到 $O(n^2)$ 或类 $O(n^2)$ 。

我们拆开状态转移式中的括号并观察：

$dpi−1,j−(vi−k)+kdp_{i,j}=\sum_{k=0}^{v_i}\ C_{v_i}^k\ A_{j-(v_i-k)+k}\ dp_{i-1,j-(v_i-k)+k}$

$dpi−1,j−vi+2kdp_{i,j}=\sum_{k=0}^{v_i}\ C_{v_i}^k\ A_{j-v_i+2k}\ dp_{i-1,j-v_i+2k}$

考虑将 $dp_{i-1}$ 翻转，就得到了一个卷积的形式。每次跑一遍 $N T T$ ，时间复杂度优化到 $O(n^2 \log n)$ 。

但是我们依然不满意。不难发现这个状态转移可以用cdq分治来优化，即分治NTT。每次我们递归左半边，跑一遍NTT处理左半边对右半边的贡献再往后边递归。由于递归的深度最大是 $log⁡n\log n$ 的，所以卷积的次数为 $\log n$ 次，总时间复杂度为 $O(n \log^2 n)$ 。