专题——自然数幂和 详解

自然数幂和，有许多种解决方法，其中最典型的有下面几种。

Description

求$$\sum _{i=1}^n{i}^k$$

由于答案可能过大，请将其对$10^9+7$取模。

法1: 暴力

时间复杂度 $O(n\log k)$ 。

法2: 线性筛

不难发现 $f(i)=i^k$ 是完全积性函数。

于是我们直接线性筛即可。时间复杂度为 $O(\frac{n\ln n}{\log k}+n)$ ，类线性。

法3: 高斯消元

可以发现，答案是一个$k+1$次多项式，即$$\sum _{i=1}^n{i}^k=\sum _{i=0}^{k+1}{f}_i{n}^i$$

现在关键在于如何求出$f_i$。我们可以令$i=1,2\dots \dots k+2$，分别得到一组点值，然后高斯消元即可。

最后，我们将多项式的各项系数带入即可求出答案。

法4: 分治

定义函数$f(n,k)={\sum }_{i=1}^n{i}^k$。

如果$n$为奇数，那么$f(n,k)=f(n-1,k)+n^k$。
如果$n$为偶数，那么$$f(n,k)=f(\frac{n}{2},k)+\sum _{i=1}^{\frac{n}{2}}(i+\frac{n}{2}{)}^k$$

令$p=\frac{n}{2}$，用二项式定理拆开：

$f(p,k)+{\sum }_{i=1}^p(i+p{)}^k$
$=f(p,k)+{\sum }_{i=1}^p{\sum }_{j=0}^{}$