### 计算三维空间中点到平面的投影坐标
在三维几何中，计算一个点 \( P(x_0, y_0, z_0) \) 到给定平面 \( Ax + By + Cz + D = 0 \) 的投影点是一个常见的问题。以下是详细的公式推导、算法描述以及示例代码。
#### 数学基础
假设平面上任意一点为 \( Q(x_q, y_q, z_q) \)，则向量 \( \overrightarrow{PQ} \) 垂直于该平面的法向量 \( n(A, B, C) \)[^1]。因此可以通过解方程组来求得投影点的坐标：
\[
t = -\frac{(Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D)}{A^2 + B^2 + C^2}
\]
其中 \( t \) 是参数化表示的距离因子。最终得到投影点 \( P'(x', y', z') \):
\[
x' = x_0 + At,\quad y' = y_0 + Bt,\quad z' = z_0 + Ct
\][^1]
#### MATLAB 实现代码
以下提供了基于上述公式的 MATLAB 示例代码：
```matlab
function proj_point = point_to_plane_projection(P, A, B, C, D)
% 输入:
% P: 点坐标 [x0, y0, z0]
% A,B,C,D: 平面方程系数
%
% 输出:
% proj_point: 投影点坐标
x0 = P(1);
y0 = P(2);
z0 = P(3);
denominator = (A^2 + B^2 + C^2);
if abs(denominator) < eps
error('Plane normal vector is zero');
end
t = -(A*x0 + B*y0 + C*z0 + D)/denominator;
proj_point = [x0 + A*t, y0 + B*t, z0 + C*t];
end
% 测试数据
P_test = [1, 2, 3]; % 给定点
plane_coeffs = [1, 1, 1, -3]; % 平面方程：x+y+z=3
proj_result = point_to_plane_projection(P_test, plane_coeffs(1), plane_coeffs(2), ...
plane_coeffs(3), plane_coeffs(4));
disp(['Projection Point:', num2str(proj_result)]);
```
此函数接受点和平面作为输入并返回其投影点。
#### Python 实现代码
如果更倾向于使用Python，则可采用如下方法实现相同功能：
```python
import numpy as np
def project_point_to_plane(point, coeffs):
"""
将点投影至指定平面。
参数:
point -- 待投影点[x0,y0,z0], list or array-like.
coeffs -- 平面定义[A,B,C,D], list or array-like.
返回:
projection -- 投影后的点[xp,yp,zp].
"""
A, B, C, D = coeffs
x0, y0, z0 = point
denom = A**2 + B**2 + C**2
if abs(denom) < 1e-8:
raise ValueError("Normal vector of the plane cannot be zero.")
t = -(A * x0 + B * y0 + C * z0 + D) / denom
xp = x0 + A * t
yp = y0 + B * t
zp = z0 + C * t
return np.array([xp, yp, zp])
# 验证测试
point = [1, 2, 3]
coeffs = [1, 1, 1, -3] # 表达式 x + y + z = 3
projection = project_point_to_plane(point, coeffs)
print(f"Projection Point:{projection}")
```
以上两种编程语言均能有效完成所需操作，并附带简单验证案例以便理解。
本文解析了两个向量点积的绝对值等于二者模的乘积的原因，通过探讨向量与超平面的关系，解释了L2范数的由来。
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