求​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​n维空间中点到超平面的距离公式推导

本文介绍了如何计算一个点到超平面的距离,并提供了两种不同的数学推导方法。第一种方法利用了向量点积的概念来确定距离;第二种方法则通过构建投影矩阵来计算距离。

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       问题: 假设我们知道R^n空间中的一个超平面S:w\cdot x+b=0,和R^n中的一个点x_0,(w,x,x_0是n维列向量),如何求得x_0到超平面S的距离?

       首先给出距离公式:

       d_0 =\frac{ \left | w\cdot x_0+b \right |}{\left \| w \right \|}

       推导(1):

       首先,对于向量a,b,我们知道a\cdot b = ||a|| ||b||cos\theta。而ab上的投影长度为||a||cos\theta

       对于超平面S,w是超平面的法向量,我们在超平面上取一点x,向量(x_0-x)w上的投影长度||x_0-x||cos\theta就是x_0到超平面的距离d_0,根据上面的点积公式,有下面的等式成立:

        (x_0-x)\cdot w=||x_0-x||cos\theta ||w||

        -> (x_0-x)\cdot w = d_0||w||

        ->d_0 = |\frac{(x_0-x)\cdot w}{||w||}|

        ->d_0=\frac{|x_0\cdot w - x\cdot w|}{||w||}

        ->d_0=\frac{|w\cdot x_0+b|}{||w||}

       推导结束。

       推导(2):

       我们在超平面上取一点x,向量p是向量(x_0-x)在超平面法向量w上的投影向量,通过投影矩阵,p的表达式如下:

         p=\frac{ww^T}{w^Tw}(x_0-x) , 将上式做如下改写:

         p = \frac{w}{||w||^2}(w^Tx_0-w^Tx)

         p = \frac{w}{||w||^2}(w\cdot x_0-w\cdot x)

         p = \frac{(w\cdot x_0+b)}{||w||^2}w

       则超x_0到超平面的距离d_0 = ||p||\therefore

         d_0=\frac{|w\cdot x_0+b|}{||w||^2}||w||

         d_0 = \frac{|w\cdot x_0+b|}{||w||}

        推导结束。

       

### PyInstaller 使用教程:打包 Python 程序为可执行文件 PyInstaller 是一个开源工具,可以将 Python 程序打包为独立的可执行文件,适用于 Windows、macOS 和 Linux 等操作系统。这使得用户无需安装 Python 环境即可运行 Python 应用程序,非常适合分发小型工具或应用程序。 #### 安装 PyInstaller 在使用 PyInstaller 之前,需要先通过 pip 安装它。打开命令行工具并执行以下命令: ```bash pip install pyinstaller ``` 确保 Python 和 pip 已正确安装,并且 Python 版本与目标程序兼容[^1]。 #### 打包 Python 程序 打包过程非常简单。假设要打包的 Python 脚本名为 `my_script.py`,并且位于当前目录下,可以使用以下命令进行打包: ```bash pyinstaller -F my_script.py ``` 其中,`-F` 参数表示将所有依赖项和 Python 解释器一起打包成一个单独的可执行文件。如果不使用 `-F` 参数,PyInstaller 会生成多个文件,包括依赖库和配置文件[^3]。 #### 指定输出目录 默认情况下,PyInstaller 会将生成的可执行文件放在 `dist` 文件夹中。如果希望指定其他输出目录,可以使用 `-p` 参数: ```bash pyinstaller -F -p output_directory my_script.py ``` #### 打包带图标的程序 如果希望为生成的可执行文件指定图标,可以使用 `-i` 参数并提供图标文件路径: ```bash pyinstaller -F -i my_icon.ico my_script.py ``` 确保图标文件格式为 `.ico`,并且位于正确的路径下[^3]。 #### 隐藏控制台窗口(仅限 Windows) 对于 GUI 应用程序,可能希望隐藏控制台窗口。可以使用 `-w` 参数来实现: ```bash pyinstaller -F -w my_script.py ``` 这样生成的 `.exe` 文件在运行时不会显示命令行窗口[^1]。 #### 检查打包结果 打包完成后,在 `dist` 目录下会生成一个与 Python 脚本同名的可执行文件。可以将该文件复制到其他计算机上运行,而无需安装 Python 环境[^2]。 #### 注意事项 - **依赖项管理**:PyInstaller 会自动检测并打包程序所需的依赖项。如果某些依赖项未被正确识别,可能需要手动指定。 - **性能**:使用 `-F` 参数打包的单个文件体积较大,因为包含了整个 Python 解释器和依赖库。如果对启动速度有要,可以选择不使用 `-F`,生成多个文件以减少内存占用。 - **兼容性**:确保在目标平台上测试生成的可执行文件,特别是在不同操作系统上运行时。 ---
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