求n维空间中点到超平面的距离公式推导

原创已于 2022-05-10 10:25:46 修改 · 置顶 · 765 阅读

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#超平面 #点 #距离

于 2019-03-29 13:33:52 首次发布

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本文介绍了如何计算一个点到超平面的距离，并提供了两种不同的数学推导方法。第一种方法利用了向量点积的概念来确定距离；第二种方法则通过构建投影矩阵来计算距离。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

问题：假设我们知道 $R^n$ 空间中的一个超平面S： $w\cdot x+b=0$ ，和 $R^n$ 中的一个点 $x_0$ ，( $w,x,x_0$ 是n维列向量)，如何求得 $x_0$ 到超平面S的距离？

首先给出距离公式：

$d_0 =\frac{ \left | w\cdot x_0+b \right |}{\left \| w \right \|}$

推导（1）：

首先，对于向量 $a,b$ ，我们知道 $a\cdot b = ||a|| ||b||cos\theta$ 。而 $a$ 在 $b$ 上的投影长度为 $||a||cos\theta$ 。

对于超平面S， $w$ 是超平面的法向量，我们在超平面上取一点 $x$ ，向量 $(x_0-x)$ 在 $w$ 上的投影长度 $||x_0-x||cos\theta$ 就是 $x_0$ 到超平面的距离 $d_0$ ，根据上面的点积公式，有下面的等式成立：

$(x_0-x)\cdot w=||x_0-x||cos\theta ||w||$

$-> (x_0-x)\cdot w = d_0||w||$

$->d_0 = |\frac{(x_0-x)\cdot w}{||w||}|$

$->d_0=\frac{|x_0\cdot w - x\cdot w|}{||w||}$

$->d_0=\frac{|w\cdot x_0+b|}{||w||}$

推导结束。

推导（2）：

我们在超平面上取一点 $x$ ，向量 $p$ 是向量 $(x_0-x)$ 在超平面法向量 $w$ 上的投影向量，通过投影矩阵， $p$ 的表达式如下：

$p=\frac{ww^T}{w^Tw}(x_0-x)$ ，将上式做如下改写：

$p = \frac{w}{||w||^2}(w^Tx_0-w^Tx)$

$p = \frac{w}{||w||^2}(w\cdot x_0-w\cdot x)$

$p = \frac{(w\cdot x_0+b)}{||w||^2}w$

则超 $x_0$ 到超平面的距离 $d_0 = ||p||$ ， $\therefore$

$d_0=\frac{|w\cdot x_0+b|}{||w||^2}||w||$

$d_0 = \frac{|w\cdot x_0+b|}{||w||}$

推导结束。

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