CCF刷题计划——梯度求解（map表示公式）

参考【CCF-CSP】 202309-3 梯度求解_ccf202309-3-优快云博客

梯度求解

计算机软件能力认证考试系统

很有启发性的一道题！这道题让我收获了如何用map表示公式：公式，说白了就是多项式。而多项式又是由众多单项式组成的，所以，我们需要先学会表达单项式。单项式形如：cX^e，需要一个值来表示系数，一个值来表示指数，对于只有一个变量的单项式，我们可以有很多种方式来表达。但是，考虑到单项式多了，有些单项式没有整合到一起，比如 3X^2+6X^2 ，相同指数的项是可以合并系数的。为了方便我们直接定位到指数的系数，我们使用 map<int,int> ，分别存储c和e，来表示一个单项式。

x1*x1*x1+x1*3转换为

指数1 系数3

指数3 系数1

在该map中添加多个c，e组合，也就意味着我们添加了多个单项式，这个map就是成为了一个多项式。

为了转化成上面的形式，我们需要提前将那些不重要的变量（也就是将那些不求导的变量）转化为系数（对于不求导的变量而言，这一步可以提前处理，也可以最后处理，都一样，为了方便，我们提前处理），然后再运算。

 AC：

#include <iostream>
#include <sstream>	//用于处理获取空格隔开的字符串 
#include <stack>
#include <string>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <map>
using namespace std;
#define ll long long
const int MOD=1e9+7; 
const int N=1e2+2;

/*
公式怎么表示？
	首先，将公式化简。无关的变量全部转化为系数。如x1+x1*x1*x2，求x1的倒数x2=2，那么就为x1+2*x1^2这种
	然后我们需要表示的是单独存在x1的项的系数和指数即可。推荐使用map<ll,ll>,分别表示 指数、系数  
	map外面套一层stack，便于我们对整体公式进行整合 

*/

int n,m;	//自变量个数，要求解的偏导数的个数 
vector<string>vec;
stack<map<ll,ll>>func;

int main()
{
	cin>>n>>m;
	stringstream linestream;
	string line,t;
	getchar();	//getline之前都来杯getchar 
	getline(cin,line);
	linestream.str(line);	//相当于这里将其空格处理 
	while(linestream>>t)	 vec.push_back(t);
	
	int id;
	vector<int>x(n+1,0);	//n个元素 
	while(m--)
	{
		cin>>id;
		for(int i=1;i<=n;i++)	cin>>x[i];
		string goal="x"+to_string(id);	//首先记录下了求导的变量
		for(int i=0;i<vec.size();i++)	//遍历容器 
		{
			t=vec[i];	//t可能是 运算符、xi（xi分为goal和非goal）、常数 
			//在前期，一般只会出现单个的项，如x1,x2这种，此时就是将其转换成系数的最好时机 
			
			if(t==goal)	//如果当前得到的项是要求导的项
			{
				map<ll,ll>mp;
				mp[1]=1;
				func.push(mp);	//直接保留 
			 }
			else if(t[0]=='x')	//没有进入goal的且为x，说明是非goal变量
			{
				//将其转换为系数
//				int tempId=stoi(t[1]);		//字符串转整型：stoi(string str);stol、stoll、stod(double) 
//				上面因为t[1]为char，倒不能直接转，而是先要转为string，用substr 
				int tempId=stoi(t.substr(1));	//substr（size_t pos，size_t len）
				map<ll,ll>mp;
				mp[0]=x[tempId];
				func.push(mp);
			 }
			//上面两种情况只在前期容易出现，也就是单项式的情况。下面将这些单项式逐渐转换为多项式，并进行运算 
			else if(t=="+"||t=="-"||t=="*")	//如果是运算符 
			{
				//会将栈中两个元素弹出，进行运算操作 
				//这里我们用两个map接收两个元素（其实本质是多项式） 
				map<ll,ll>mp2=func.top();	 func.pop();	 
				map<ll,ll>mp1=func.top();	 func.pop();
				map<ll,ll>mp;	//用来表示运算结果 
				
				if(t=="+")
				{
					//加法运算，如 3*x1+5*x1，相同指数的系数相加
					mp=mp1;
					for(auto &it:mp2)	//first是指数，second是系数 
						mp[it.first]=(mp[it.first]+it.second)%MOD;	//该式本质是 同指数下的mp.second+mp2.second 
						
				}
				
				else if(t=="-")	//减法同理 
				{
					mp=mp1;
					for(auto &it:mp2)	//first是指数，second是系数 
						mp[it.first]=(mp[it.first]-it.second)%MOD;
				}
				
				else
				{	//乘法就比较复杂：需要将mp1的所有项都和mp2的所有项相乘
					//而单独两项相乘，就是系数相乘，指数相加
					//就结果而言，结果的指数对应的系数就是两个系数乘后的累加	 
					for(auto &it1:mp1)
						for(auto &it2:mp2)
						{
							mp[it1.first+it2.first]+=it1.second*it2.second;
							mp[it1.first+it2.first]%=MOD; 
						}
				}
				func.push(mp);	//将运算结果多项式放回去 
			}
			else //数字
			{
				ll data=stoll(t);	//转换为longlong
				map<ll,ll>mp;
				mp[0]=data;
				func.push(mp); 
			 } 
		 } 
		
		//最后func中得到的是一个关于goal的多项式
		//接下来我们需要将这个多项式进行求导操作 
		//其实这里就简单了，指数-1，指数为0的舍弃，然后将值带入
		
		ll ans=0; 
		map<ll,ll>f=func.top();
		for(auto &it:f)
		{
			ll e=it.first;	//指数	原指数会-1 
			ll c=it.second;	//系数	原系数会*e 
			if(e==0)	continue;
			ans=(ans+c*e*(ll)pow(x[id],e-1))%MOD;
		}
		
        //下面是链接中大佬给的源代码，我不太理解，所以换成了上面的，也是满分
//		ll ans=0,pree=0,fac=1;
//		map<ll,ll>f=func.top();
//		for(auto &it:f) 
//		{
//			ll e=it.first;	//指数 
//			ll c=it.second;	//系数
//			for(int i=pree+1;i<e;i++)
//				fac=fac*x[id]%MOD;	
//			pree=e==0?0:e-1;	 
//			ans=(ans+c*e*fac)%MOD;
//		}
		cout<<(ans+MOD)%MOD<<endl;	//因为负数也要求在 [0，MOD）的范围内，所以需要+MOD使其变成正数
									//如果本来就是正数也无所谓，+mod后会%去 
	}
	return 0;
 }