算法导论学习笔记（四） 初稿

5.1 雇用问题

• 平均运行时间：所有可能输入分布取平均值的运行时间
• 期望时间：随机算法的运行时间
• 当概率分布是在算法的输入上时，讨论平均运行时间，当算法本身做出随机选择时，讨论期望运行时间

5.2 指示器随机变量

个人感觉与独立重复试验类似

1. 核心：将问题分解为子问题

2. 应聘者问题的指示器随机变量解法
   

   $$E[X]=\sum_{x=1}^n xP \{ X=x \}= \sum_{i=1}^n E[x_i]=\sum_{i=1}^n 1/i=lnn+O(1)$$

3. 关于例题

   • 帽子核对问题
     对于每个顾客，拿到自己的帽子的概率为$1/n$，故其数学期望为$\sum_{i=1}^n 1/n =1$

   • 逆序对问题
     对于每一组数的组合，都有一半的概率为逆序，故其数学期望为$C_n^2 \cdot \frac 1 2 =n(n-1)/4$

5.3 随机算法

1. 含义
   让分布固定，而通过特定算法实现随机化。

2. 随机排列数组

   • PERMUTE-BY-SROTING

     • 即为每一个数组元素随机分配一个rank值，并以rank重新排列这些元素。
     • 通过条件概率可证明每种分配的可能均为1/n!
     • 通过5.3-4可知，对于每个元素A[i]，排在任一位置的概率均为1/n，并非是证明均匀随机排列的充分条件

   • RANDOMIZE-IN-PLACE

     • 即对于每个元素，都与它后面（包含自身）的元素相交换。

     • 证明

       • 初始化：初始化赋值i=2（涉及讨论i=1的空数组，故先显式交换一次），即对于每个1排列，长度为1的子数组包含这种排列的概率为 $(n-1)!/n!=1/n$，第一次循环迭代前循环不变式成立。

       • 保持：假设i次迭代前每种(i-1)排列出现概率为$(n-i+1)!/n!$，则第i次迭代后，概率为$\frac{1}{n-i+1} \cdot \frac{(n-i+1)!}{n!}$

       • 终止：终止时，i=n+1，子数组任一排列概率为$1/n!$

5.4 特征序列

• 问题：抛一枚标准硬币n次，求最长连续正面的数学期望

• 思路： 类似夹逼准则

• 证明过程：

  • O(lgn)

    • 设连续掷硬币k次，k=2lgn。

    • 起始于某一位置，长度**大于等于**k的序列至多有n-k+1个，故开始于任一位置的概率总和小于等于
      

      $$\sum_{i=1}^{n-k+1} {1/2}^k \leq \sum_{i=1}^{n-k+1} 1/n^2 < \sum_{i=1}^n 1/n^2 = 1/n$$

    • 由定义知
      

      $$E[L]=\sum_{j=0}^n jP\{L_j\}=\sum_{j=0}^{k-1} jP\{L_j\} + \sum_{j=k}^n jP\{L_j\}$$
      其中j为长度的具体值。

    • 显然，当j较大时$P\{L_j\}$较小，当$P\{L_j\}$较大时j较小，故
      

      $$E[L]<\sum_{j=0}^{k-1} kP\{L_j\} + \sum_{j=k}^n nP\{L_j\}<k\sum_{j=0}^{k-1}P\{L_j\}+1$$
      又因为$\sum_{j=0}^{k-1}P\{L_j\}<1$，原式小于$O(k)=O(lgn)$

  • Ω(lgn)

    • 把n次投掷划分为n/s组，每组掷s次，s取lgn/2。

    • 显然任一一组，结果为同一面（假设为正面）概率为
      

      $$1/2^s=1/\sqrt n$$

    • 故每组都不是同一面概率为
      

      $$(1-1/ \sqrt n)^{n/s-1} \leq e^{(n/s-1)/ \sqrt n} = O(e^{-\lg n} = O(1/n))$$

    • 对j值较小的部分，其值忽略不计，因此
      

      $$\sum_{j=0}^n jP\{L_j\} \geq \sum_{j=s}^n jP\{L_j\} \geq s\sum_{j=s}^nP\{L_j\} \geq s(1-O(n))=\Omega (\lg n)$$

• 结论：特征序列长为lgn。

• 指示器随机变量的近似结果：$\frac{n-k+1}{2^k}$，且带入k=lgn时值近似符合要求。

5.5 在线雇佣问题

• 问题：只雇佣一次应聘者，并且每次应聘必须决定是否雇佣这个人。

• 实现思路：选择一个正整数k，面试并拒绝前k个应聘者，并雇佣后面第一个分数比前k个应聘者中分最高者还高的人，若没有则雇佣最后一个人。问题转化为寻找k的最优值。

• 过程：

  • 令$P\{S_i\}$表示应聘者为第i时面试成功的概率，$B_i$表示最佳面试者为第i人的概率，$M(j)$表示前1~j人中的最高分，$O_i$表示从k+1到i-1的应聘者都小于$M(k)$的概率。

  • 显然
    

    $$P\{S\}=\sum_{i=k+1}^{n}P\{S_i\}$$
    $$P\{B_i\}=1/n$$
    $$P\{O_i\}=k/(i-1)$$
    $$P\{S_i\}=P\{B_i\} \cdot P\{O_i\}$$

  • 解得 $P\{S\}= \frac{k}n (\ln n - \ln k)$

  • 求导，得$k=n/e$