算法导论学习笔记（二）初稿_g(n)在算法中表示什么-优快云博客

3.1渐进记号

适用范围
- 算法的运行时间
- 算法的其他方面（空间复杂性等）
- 与算法无关的函数
渐进紧确界
- 常用g(n)表示
- 表达式如下
  $\exists c 1, c 2 \in Z, \forall n \geq n 0, 0 \leq c 1 g (n) \leq f (n) \leq c 2 g (n)$ $\exists \ c1,c2 \in Z,\forall \ n\geq n_0,\ 0\leq c_1g(n)\leq f(n)\leq c_2g(n)$
- f(n)=Θ(g(n))
不同的记号
- O（渐进上界）
  - 表达式如下
    $\exists c \in Z, \forall n \geq n 0, 0 \leq f (n) \leq c g (n)$ $\exists \ c \in Z,\forall \ n\geq n_0,\ 0\leq f(n)\leq cg(n)$
  - f(n)=O(g(n)) ⊆ f(n)=Θ(g(n))
- Ω（渐进下界）
  - 表达式如下
    $\exists c \in Z, \forall n \geq n 0, 0 \leq c g (n) \leq f (n)$ $\exists \ c \in Z,\forall \ n\geq n_0,\ 0\leq cg(n)\leq f(n)$
  - 如果f(n)=O(g(n)) 且 f(n)=Ω(g(n)),则f(n)=Θ(g(n)).
- o（非渐进紧确上界）
  - 表达式如下
    $\forall c > 0, \exists n \geq n 0, 0 \leq c g (n) \leq f (n)$ $\forall \ c>0 ,\exists \ n\geq n_0,\ 0\leq cg(n)\leq f(n)$
  - 等价关系如下
    $lim n \to + \infty f ( n ) g ( n ) = 0$ $\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{f(n)}{g(n)}=0$
  例如，2n= $o(n^2)$ , 但 $2n^2≠o(n^2)$
ω（非渐进紧确下界）
等式中渐进记号的含义
- 例如等式2n^2^ + 3n + 1 = 2n^2^ + Θ(n) ，其右边的θ(n)指代其集合中某个函数，通过这种方法，消除等式中无关紧要的细节；
- 例如等式2n^2^ + Θ(n) = Θ(n^2^)，
  其含义为无论左边Θ(n)取集合中哪一个函数，Θ(n^2^)中总存在一个函数使得等式成立。即等式右边给出了一个更模糊的界限。
- 匿名函数数目与渐进记号出现次数有关，与数学表达式含义无关，例如∑O(i) 不同于 O(1)+O(2)+O(3)+…，
  前者仅有一个匿名函数而后者有多个。
渐进运算的性质
- 传递性
- 自反性
- 对称性
- 转置对称性：
  f(n)=O(g(n)) 当且仅当 g(n)=Ω(f(n))
  f(n)=o(g(n)) 当且仅当 g(n)=ω(f(n))
- 三分性
  任意两个实数a,b,对于a < b,a = b,a > b三种情况，必然有一成立。且上述性质并不适用于所有函数，比如n和 $n^{1+sinn}$ 。

3.2重要公式

斯特林近似公式

$n! = 2 π n - - - \sqrt (n / e) n (1 + Θ (1 / n)) \Rightarrow l g (n!) = Θ (n l g n)$ $n!=\sqrt{2\pi n}\ (n/e)^n \ (1+\Theta(1/n)) \Rightarrow \quad lg(n!)=\Theta (nlgn)$
多重对数 ( $lg^* n$ `)
- 定义： $lg^* n= min \{i\geq0| lg^{(i)}n\leq1\}$
- i的增长异常缓慢
  $lg^* 2 = 1$
  $lg^* 2^2 = 2$
  $lg^* 2^4 = 3$
  $lg^* 2^{16} = 4$
多项式有界

$f (n) = O (n k) \Leftrightarrow l g (f (n)) = O (l g n)$ $f(n)=O(n^k) \Leftrightarrow lg(f(n))=O(lgn)$