P1004 [NOIP2000 提高组] 方格取数（四维DP/三维）

一个地图，走一次之后权值被取走，再走一次，求两次之和最大。

如果只走一次，显然是DP， （二维DP），f[i][j]表示走到(i,j)时最大权值，但是DP一次只能求得最优解，不能记录走了哪些格子。

我们不妨两次路径同时考虑，f[x][y][k][l]表示第一次走到(x,y)，第二次走到(k,l)的最优解，状态转移从四种方案中选择（第一次向下/右，第二次向下/右），再加上(x,y)和(k,l)的权值，注意如果这两个点相同，只加一次，因为走了一次已经被取走了，这样就可以保证后面的结果不会出现重复加的情况。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int f[10][10][10][10];
int n, a[10][10];
int main() {
	cin >> n;
	while (1) {
		int x, y, k;
		cin >> x >> y >> k;
		if (x == 0) break;
		a[x][y] = k;
	}
	for (int i = 1; i <= n; i ++)
		for (int j = 1; j <= n; j ++)
			for (int k = 1; k <= n; k ++)
				for (int l = 1; l <= n; l ++) {
					f[i][j][k][l] = max(max(f[i - 1][j][k - 1][l], f[i - 1][j][k][l - 1]), max(f[i][j - 1][k - 1][l], f[i][j - 1][k][l - 1])) + a[i][j] + a[k][l];
					if (i == k && j == l) f[i][j][k][l] -= a[i][j];
				}
	cout << f[n][n][n][n];
}

如果本题数据范围再大点，n^4太高，考虑降维。

两种方案同时进行，走的相同步数k，x+y=k，知道一个坐标通过k可以求出另一个，所以可以降为三维，f[k][y1][y2]是两次都走了k步，分别走到纵坐标y1，y2的最优解。再判断重复。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, a[10][10], f[20][10][10];
int main() {
	cin >> n;
	while (1) {
		int x, y, k;
		cin >> x >> y >> k;
		if (x == 0) break;
		a[x][y] = k;
	}
	for (int k = 1; k <= 2 * n; k ++) 
		for (int i = 1; i <= min(k, n); i ++)
			for (int j = 1; j <= min(k, n); j ++) {
				f[k][i][j] = max(max(f[k - 1][i][j], f[k - 1][i - 1][j]), max(f[k - 1][i][j - 1], f[k - 1][i - 1][j - 1])) + a[k - i][i] + a[k - j][j];
				if (i == j) f[k][i][j] -= a[k - i][i];
			}
	cout << f[2 * n][n][n];
}