密码学的数学基础3-同余方程

一元高次同余方程

方程的性质

求解策略

若整数 $d\mid m,$ 那么同余方程 $f(x)\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$ 有解的必要条件为
$$f(x)\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}d)$$
此性质可以判断方程是否无解.
例题:$$\begin{array}{rl}& \text{ 求解同余方程 }f(x)=4x^2-27x-9\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}15).\\ & \text{ 解 :}15\text{ 的素因子只有 }3,5,\text{ 但只有 }f(3)\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3),\text{ 而 }f(1),f(2),f(3),f(4)\\ & f(5)\not\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}5),\text{ 从而此同余方程无解. }\end{array}$$

化简:

如果$$f(x)=q(x)h(x)+r(x)$$
且同余方程 $h(x)\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$ 为恒等同余式, 即方程的解数为 $m,$ 则同余方程 (3.1) 与同余方程
$$r(x)\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$$
解与解数相同. 利用恒等同余式降低同余方程的次数，关键是找模 m 的恒等同余式. 如果 m 为素数 $p$, 利用 Fermat-Euler 定理，易知,
$$h(x)=x^p-x\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$$
为恒等同余式.
例题:
求解同余方程
$$3x^{15}-x^{13}-x^{12}+x^{11}-3x^5+6x^3-2x^2+2x-1\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}11)$$
解 \quad 利用恒等同余式 $x^{11}\equiv x(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}11),$ 由多项式除法得
$$\begin{array}{rl}& 3x^{15}-x^{13}-x^{12}+x^{11}-3x^5+6x^3-2x^2+2x-1\\ =& \left(x^{11}-x\right)\left(3x^4-x^2-x+1\right)+5x^3-3x^2+3x-1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}11)\end{array}$$
所以原同余方程与同余方程 $5x^3-3x^2+3x-1\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}11)$ 同解，依次试0~10可知同余方程的解为 $x\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}11)$

一次同余方程

方程的性质与求解策略

标准形式:$$ax\equiv b(modm)$$

• 若(a,m)=1,则有且只有一个解.
• 方程有解的充要条件是$(a,m)|b$,有解时,解数等于$(a,m)$
• 若 $x_0$ 是它的一个解，则它的（a, m) 个解是
  $$x\equiv x_0+\frac{m}{(a,m)}t(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m),t=0,1,\cdots ,(a,m)-1$$

证明过程比较简单,略.
使用以上三个性质,我们可以进行一次同余方程的求解,求解过程利用拓展欧几里得算法为基础*(关于拓展欧几里得的算法在第一章写过)*,进行求解,完整代码如下:

#include<iostream>
using namespace std;
void ex_Eclid_recursive(int a, int b, int& gcd, int& x, int& y)
{
   
   
	if (b == 0)
		x = 1, y = 0,gcd = a;
	else
	{
   
   
		ex_Eclid_recursive(b, a % b, gcd, y, x);
		y -= x * (a / b);
	}

}

int main()
{
   
   
	cout << "求解一次同余方程ax=b(mod m)格式程序:" << endl;
	int a , b , m ,gcd=0,x=0,y=0,temp=0,count=0;//a,b,m值对应方程中的系数
	printf("请依次输入a,b,m:");
	scanf_s("%d%d%d", &a, &b, &m);
	cout << a << "x" << "=" << b << "(mod " << m << ") ";
	ex_Eclid_recursive(a, m, gcd, x, y);
	if (b % gcd != 0)
	{
   
   
		cout << "此方程无解!!" << endl;
	}
	else
	{
   
   
		co