【DP】方格取数和【DP】传纸条

最新推荐文章于 2022-02-22 16:07:18 发布

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本文探讨了使用动态规划解决寻找两条不相交路径的问题，旨在最大化路径上的数值总和。通过具体实例，如方格取数和纸条传递，详细解析了算法的设计与实现过程。

题目

设有N*N的方格图(N<=10,我们将其中的某些方格中填入正整数,而其他的方格中则放入数字0。如下图所示（见样例）：
[外链图片转存失败(img-qDv9SpOy-1562483002948)(http://10.156.17.250/JudgeOnline/image/1010.jpg)]

某人从图的左上角的A 点出发，可以向下行走，也可以向右走，直到到达右下角的B点。在走过的路上，他可以取走方格中的数（取走后的方格中将变为数字0）。
　　此人从A点到B 点共走两次，试找出2条这样的路径，使得取得的数之和为最大。

输入

输入的第一行为一个整数N（表示N*N的方格图），接下来的每行有三个整数，前两个表示位置，第三个数为该位置上所放的数。一行单独的0表示输入结束。

输出

只需输出一个整数，表示2条路径上取得的最大的和。

输入样例

8
2 3 13
2 6 6
3 5 7
4 4 14
5 2 21
5 6 4
6　3 15
7　2 14
0　0 0

输出样例

解题思路

这题有可能只能算是“贪心算法”。虽然在一些情况下，贪心算法也能够产生最优解，但总的来说“贪心算法”是一种有明显缺陷的算法。实际上本问题完全可以用动态规划解决，只是递推起来更为复杂些而已，前面在考虑只走一次的情况，只需考虑一个人到达某个格子（i，j）的情况
即可以推出公式：
$f [i] [j] [k] [s] = m a x$
第一次 $m a x (f [i - 1] [j] [k - 1] [s], f [i - 1] [j] [k] [s - 1])$
第二次 $m a x (f [i] [j - 1] [k - 1] [s], f [i] [j - 1] [k] [s - 1])$

注意

i≠k或者j≠s

程序如下

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring> 
using namespace std;
int f[12][12][12][12],a[12][12],n,x,y,z;
int main() 
{
    scanf("%d",&n);
    scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
      while(x!=0&&y!=0&&z!=0)//因为题目最后一个行全是0所以要避免这种情况
      {
	    a[x][y]=z;//把x,y的值给z，意思是在这个方格中数的位置
	    scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
      }
    for(int i=1;i<=n;i++)//第一次的行
        for(int j=1;j<=n;j++)//第一次的列
            for(int k=1;k<=n;k++)//第二次的行
                for(int s=1;s<=n;s++)//第二次的列
				{
                    f[i][j][k][s]=max(max(f[i-1][j][k-1][s],f[i-1][j][k][s-1]),max(f[i][j-1][k-1][s],f[i][j-1][k][s-1]))+a[i][j]+a[k][s];
                      if(i==k && s==j)//如果等于证明两点相交，所以要减去a[i][j]避免相交
					    f[i][j][k][s]=f[i][j][k][s]-a[i][j];
				}
       printf("%d",f[n][n][n][n]);
        return 0;
}

题目

小渊和小轩是好朋友也是同班同学，他们在一起总有谈不完的话题。一次素质拓展活动中，班上同学安排做成一个m行n列的矩阵，而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端，因此，他们就无法直接交谈了。幸运的是，他们可以通过传纸条来进行交流。纸条要经由许多同学传到对方手里，小渊坐在矩阵的左上角，坐标(1,1)，小轩坐在矩阵的右下角，坐标(m,n)。从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递，从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。
　　在活动进行中，小渊希望给小轩传递一张纸条，同时希望小轩给他回复。班里每个同学都可以帮他们传递，但只会帮他们一次，也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙，那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙。反之亦然。
　　还有一件事情需要注意，全班每个同学愿意帮忙的好感度有高有低（注意：小渊和小轩的好心程度没有定义，输入时用0表示），可以用一个0-100的自然数来表示，数越大表示越好心。小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条，即找到来回两条传递路径，使得这两条路径上同学的好心程度只和最大。现在，请你帮助小渊和小轩找到这样的两条路径。

输入

输入文件message.in的第一行有2个用空格隔开的整数m和n，表示班里有m行n列（1<=m,n<=50）。
　　接下来的m行是一个m*n的矩阵，矩阵中第i行j列的整数表示坐在第i行j列的学生的好心程度。每行的n个整数之间用空格隔开。

输出

输出文件message.out共一行，包含一个整数，表示来回两条路上参与传递纸条的学生的好心程度之和的最大值。

输入样例

3 3
0 3 9
2 8 5
5 7 0

输出样例

解题思路

其实和方格取数差不多，这也是为什么放在一起打出来了

真的是差不多

不多讲了

程序如下

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int f[51][51][51][51],a[51][51],n,m;
int main() 
{
    scanf("%d%d",&m,&n);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
    	for(int j=1;j<=n;j++)//真的就是把输入改一下就可以了
    	{
    		 scanf("%d",&a[i][j]);
    	}
    }
    for(int i=1;i<=m;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            for(int k=1;k<=m;k++)
                for(int s=1;s<=n;s++){
                    f[i][j][k][s]=max(max(f[i-1][j][k-1][s],f[i-1][j][k][s-1]),max(f[i][j-1][k-1][s],f[i][j-1][k][s-1]))+a[i][j]+a[k][s];
                      if(i==k && s==j)
					    f[i][j][k][s]=f[i][j][k][s]-a[i][j];
					}
       printf("%d",f[m][n][m][n]);
        return 0;
}