【YbtOJ 递推 - 1】错排问题

题目描述

求一个有$n$个数的排列$A$,使得$A[i]$不等于$i$

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输入格式

一个整数

输出格式

一个整数，表示答案

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输入样例

3
1

输出样例

2

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解题思路

我们设一个$f(n)$表示$n$个数的合法排列个数
先考虑第$n$个元素，把他放在位置$m$上，那么就有$n-1$种放法
然后就要考虑一下第$m$个元素了
第一种情况：把第$m$个元素放在位置$n$,那么由于第$k$个元素放在了位置$n$，所以剩下的$n-2$个元素错排就可以了
☝☝☝☝☝☝☝☝☝☝☝☝☝☝
第一种共有$f(n-2)$种放法

第二种情况：因为第一种就已经把第$m$个元素放在位置$n$上了，所以第二种就是不把第$m$个元素放在位置$n$上了，那么就有$n-1$个元素的错排了
☝☝☝☝☝☝☝☝☝☝☝☝☝☝
第二种共有$f(n-1)$种放法

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程序如下

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>

using namespace std;

long long n, f[100001];

int main()
{
	scanf("%lld",&n);
	f[1] = 0;
	f[2] = 1;
	for(int i = 3; i <= n; ++i)
		f[i] = (i - 1) * (f[i - 2] + f[i - 1]);
	printf("%lld",f[n]);
	return 0;
}