前n项和公式

数学真是差到不能行,在温习一下高中的知识吧、、、、、
1、前n项和公式:
等差数列的前n项和公式的推导:
高斯先生上小学时玩过的方法......
倒数相加法:
     Sn=a1+a2+......an-1+an
    Sn=an+an-1+......a2+a1
两式相加得
    2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+......(an+a1)
n个(a1+an)
所以   
   Sn=[n*(a1+an)]/2
如果已知等差数列的首项为a1,公差为d,项数为n,则an=a1+(n-1)d代入公式(1)得
   Sn=na1+ [n(n+1)d]/2
等比数列前n项和:
设数列{an}公比为q(q≠1)

则    S=a1+a2+...+an 

       q*S=a1*q+a2*q+...an*q=a2+a3+...+an+a(n+1)

两式相减得

       (1-q)S=a1-anq

       S=(a1-anq)/(1-q)

### 等差数列 n 数学定义 等差数列是一种特殊的数列,其特点是每一之差是一个固定常数,称为公差 \(d\)。设首为 \(a_1\),则第 \(k\) 可以表示为: \[ a_k = a_1 + (k-1)d \quad [^1] \] 对于等差数列 \(n\) \(S_n\) 的定义如下: \[ S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n \quad [^2] \] 通过代入通公式可得: \[ S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} \left(a_1 + (k-1)d\right) \quad [^3] \] 展开求表达式并简化得到最终公式: \[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n-1)d) \quad [^4] \] 或者更常见的形式为: \[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \quad [^5] \] 其中 \(a_n\) 是该序列中的最后一。 ### 等差数列 n 推导过程 为了验证上述公式,可以通过高斯法来直观理解这一结论。假设我们有以下等差数列及其反向排列: 正序:\(a_1, a_2, ..., a_n\) 倒序:\(a_n, a_{n-1}, ..., a_1\) 当我们将这两组相加时,每一对对应位置上的元素总均为相同的定值: \[ (a_1 + a_n), (a_2 + a_{n-1}), ..., (a_n + a_1) \quad [^6] \] 由于共有 \(n\) 对这样的组合,因此整个序列的两倍等于这些配对的总数乘以单个配对的数值: \[ 2S_n = n \cdot (a_1 + a_n) \quad [^7] \] 由此得标准公式: \[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \quad [^8] \] 如果替换掉 \(a_n\) 使用通公式,则会获得另一种表述方式: \[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n-1)d) \quad [^9] \] 以下是实现计算的一个简单 Python 函数示例: ```python def arithmetic_sum(n, first_term, common_difference): """ 计算等差数列 n 参数: n : int 的数量 first_term : float 首 common_difference : float 公差 返回: sum_of_series : float 序列 n """ return n / 2 * (2 * first_term + (n - 1) * common_difference) ```
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