爬楼梯

本文探讨了经典的爬楼梯问题,通过动态规划的方法,有效地解决了如何计算到达楼顶的不同方式数量的问题。代码示例使用了C++和Python两种语言实现,展示了简洁高效的算法设计思路。

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111. 爬楼梯

假设你正在爬楼梯,需要n步你才能到达顶部。但每次你只能爬一步或者两步,你能有多少种不同的方法爬到楼顶部?

样例

比如n=3,1+1+1=1+2=2+1=3,共有3种不同的方法

返回 3

public class Solution {
    /**
     * @param n: An integer
     * @return: An integer
     */
    public int climbStairs(int n) {
        // write your code here
        if(n<1) return 0;
        if(n<3) return n;
        int pre=1;
        int last=2;
        int res=0;
        for(int i=2;i<n;i++)
        {
            res=pre+last;
            pre=last;
            last=res;
        }
        return res;
    }
}

########################################

class Solution {
public:
    /**
     * @param n: An integer
     * @return: An integer
     */
    int climbStairs(int n) {
        // write your code here
        if(n<1) return 0;
        if(n<3) return n;
        int last=2;
        int pre=1;
        int res=0;
        for(int i=2;i<n;i++)
        {
            res=pre+last;
            pre=last;
            last=res;
        }
        return res;
    }
};

###########################################

class Solution:
    """
    @param n: An integer
    @return: An integer
    """
    def climbStairs(self, n):
        # write your code here
        if n<1:
            return 0
        if n<3:
            return n 
        pre=1 
        last=2
        res=0
        for i in range(2,n):
            res=pre+last
            pre=last
            last=res
        return res 
        

 

 

### 动态规划实现爬楼梯问题 爬楼梯问题的核心思想是动态规划,其本质与斐波那契数列密切相关。对于给定的 `n` 阶台阶,每次可以爬 1 阶或 2 阶,最终到达楼顶的不同方法数等于前一步骤的解之和。 #### 方法一:使用数组存储中间结果 此方法通过数组来保存每一步的结果,时间复杂度为 $O(n)$,空间复杂度也为 $O(n)$。 ```java class Solution { public int climbStairs(int n) { if (n == 1) return 1; if (n == 2) return 2; int[] dp = new int[n + 1]; dp[1] = 1; // 爬到第1阶有1种方法 dp[2] = 2; // 爬到第2阶有2种方法 for (int i = 3; i <= n; i++) { dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]; // 当前阶的方法数等于前两阶之和 } return dp[n]; } } ``` #### 方法二:优化空间复杂度 为了减少空间占用,可以仅使用两个变量记录前两步的结果,从而将空间复杂度优化至 $O(1)$。 ```java class Solution { public int climbStairs(int n) { if (n == 1) return 1; if (n == 2) return 2; int prev = 1, curr = 2; for (int i = 3; i <= n; i++) { int temp = curr; curr = prev + curr; // 计算当前阶的方法数 prev = temp; // 更新前一个值 } return curr; } } ``` #### 方法三:公式法(基于斐波那契数列) 利用斐波那契数列的通项公式,直接计算出结果,时间复杂度为 $O(1)$,但需要注意精度问题。 ```java class Solution { public int climbStairs(int n) { double sqrt5 = Math.sqrt(5); double fibN = Math.pow((1 + sqrt5) / 2, n + 1); // 使用斐波那契公式 return (int) ((fibN - Math.pow((1 - sqrt5) / 2, n + 1)) / sqrt5); } } ``` 以上代码实现了不同的解决方案,包括动态规划、空间优化以及数学公式法[^2]。 --- ### 相关问题
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