分组背包问题

最新推荐文章于 2025-05-03 01:17:51 发布

广西小蒟蒻

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CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：动态规划算法 c++

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/CPP2021/article/details/123470592

博客介绍了如何使用动态规划解决分组背包问题，通过状态表示、状态转移方程实现，同时展示了空间优化技巧，将二维空间压缩为一维。程序代码展示了两种不同空间复杂度的解决方案，并给出了完整算法实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

对于分组背包问题,要抓住最关键的一点 : 每组物品有若干个，同一组内的物品最多只能选一个。

状态表示: $f [i] [j]$ : 在前 $i$ 组物品中选,且总体积不超过 $j$ 的集合
状态属性: 总价值的最大值
状态转移方程:
选第 $i$ 组中的第 $k$ 个物品和不选第 $i$ 组中的第 $k$ 个物品
$f [i] [j] = m a x (f [i] [j], f [i - 1] [j - v [i] [k]] + w [i] [k]);$

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 110;

int f[N][N], v[N][N], w[N][N], s[N], n, m;


int main()
{
    cin >> n >> m;
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++ )   //读入每个物品组
    {
        cin >> s[i];
        for(int j = 1; j <= s[i]; j ++ )   //读入每个物品
        cin >> v[i][j] >> w[i][j];
    }
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++ )   //枚举每个物品组
    for(int j = 0; j <= m; j ++ )    //枚举所有体积
    {
        f[i][j] = f[i - 1][j];
        for(int k = 1; k <= s[i]; k ++ )    //枚举每个物品组的物品
        if(j >= v[i][k])  //状态转移
         f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i][k]] + w[i][k]); 
    }
    
    cout << f[n][m] << '\n';
}

不难发现,我们用到的状态都是上一层的状态,所以我们可以进行空间优化,将空间压缩至一维

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 110;

int f[N], v[N][N], w[N][N], s[N], n, m;


int main()
{
    cin >> n >> m;
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        cin >> s[i];
        for(int j = 1; j <= s[i]; j ++ )
        cin >> v[i][j] >> w[i][j];
    }
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++ )
    for(int j = m; j >= 0; j -- )  
    //反向枚举,防止计算出来的结果是由第i层得来的
        for(int k = 1; k <= s[i]; k ++ ) 
        if(j >= v[i][k])
         f[j] = max(f[j], f[j - v[i][k]] + w[i][k]);
    
    cout << f[m] << '\n';
}