有依赖的背包问题

有 $N$ 个物品和一个容量是 $V$的背包。

物品之间具有依赖关系，且依赖关系组成一棵树的形状。如果选择一个物品，则必须选择它的父节点。
如下图所示：

如果选择物品 $5$，则必须选择物品 $1$ 和 $2$。这是因为 $2$ 是 $5$ 的父节点，$1$ 是 $2$ 的父节点。

每件物品的编号是 $i$，体积是 $v_i$，价值是 $w_i$，依赖的父节点编号是 $p_i$。物品的下标范围是 $1\dots N$。
求解将哪些物品装入背包，可使物品总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式:

第一行有两个整数 $N，V$，用空格隔开，分别表示物品个数和背包容量。

接下来有 $N$ 行数据，每行数据表示一个物品。
第 i 行有三个整数 $v_i,w_i,p_i$，用空格隔开，分别表示物品的体积、价值和依赖的物品编号。
如果 $p_i=-1$，表示根节点。 数据保证所有物品构成一棵树。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。
数据范围

$1\le N,V\le 100$
$1\le v_i,w_i\le 100$
父节点编号范围：
内部结点：$1\le p_i\le N$;
根节点 $p_i=-1$;

输入样例:

5 7
2 3 -1
2 2 1
3 5 1
4 7 2
3 6 2

输出样例：

11

对于有依赖的背包问题,不难发现与树形 $dp$ 有点相似,其本质就是在树上做背包问题,然后这里关键的条件就是,选了子节点必须要选它的父节点,

状态表示: f[i][j]: 在前 $i$ 个物品中选,总体积不超过 $j$ 的集合
状态属性: 总价值的最大值
状态计算: $u$ 表示父节点 $son$ 表示子节点 $k$是子节点的体积
$f[u][j]=max(f[u][j],f[u][j-k]+f[son][k]);$

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 110;

int f[N][N], v[N], w[N], n, m;
int e[N], ne[N], h[N], idx;

void add(int a,int b)
{
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++;
}


void dfs(int u)
{
    for(int i = h[u]; ~i; i = ne[i])  //遍历每个子结点
    {
        int son = e[i];
        dfs(son);   //先搜到叶节点
        
        for(int j = m - v[u]; j >= 0; j -- )   //枚举父节点的体积
        for(int k = 0; k <= j; k ++ )    //枚举子节点
        f[u][j] = max(f[u][j], f[u][j - k] + f[son][k]);   //状态转移
    }
    
    for(int i = m; i >= v[u]; i -- ) f[u][i] =  f[u][i - v[u]] + w[u] ;  //当父节点的体积大于v[u] 时 加上该节点的价值
    
    for(int i = 0; i < v[u]; i ++ ) f[u][i] = 0;  //小于v[u]时 初始化为0
}

int main()
{
    cin >> n >> m;   //读入
    
    int root;
    
    memset(h, -1, sizeof h); //初始化单链表
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++ )   //读入
    {
        int p;
        cin >> v[i] >> w[i] >> p;
        if(p == -1 ) root = i;  //获取根节点
        else add(p,i);   //连边
    }
    
    dfs(root);   //从根节点开始搜
    
    cout << f[root][m] << '\n';
}