7-21 leetcode 45

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本文探讨了一种固定数组的跳跃游戏问题，分别使用动态规划和贪心算法来寻找最少步数解。动态规划方法通过状态转移方程实现，时间复杂度为O(n²)；而贪心算法通过不断更新最远边界，达到O(n)的时间复杂度。两种方法在空间复杂度上分别为O(n)和O(1)。

解法1
读题分析，这是一个固定数组，数组的元素不能随便移动，大概率是扫描遍历数组求解最优值。再进一步分析，可以采取动态规划思想，我们从尾部往前推，对于最后一个元素也就是下标为n-1的元素，它肯定是由前面某个下标为k的元素跳跃了x步，其中k＜n-1且x＜nums［k］，分析到这，状态迁移方程也就很容易列出来了。
状态方程为
dp[i]=dp[k]+1(k<i且k+nums[k]>=i)
dp[0]=0
代码如下：

53
class Solution {
public:
    int jump(vector<int>& nums) {
        int length=nums.size();
        int *dp=new int[length];
        for(int i=0;i<length;i++)
        {
            dp[i]=i;
        }
        for(int i=0;i<length-1;i++)
        {
            for(int j=1;j<=nums[i];j++)
            {
                if(i+j<length)
                {
                    dp[i+j]=dp[i]+1<dp[i+j]?dp[i]+1:dp[i+j];
                }
            }
        }
        return dp[length-1];
    }
};

时间复杂度O（n²）空间复杂度O（n）

解法2
看了官方答案，贪心算法时间复杂度和空间复杂度可以进一步地减少为O（n）和O（1），主要思路就是不断进行贪心计算，计算跳1步最远能走到哪个位置，跳2步最远能走到哪个位置…直到最远位置覆盖最后一个元素。这样所得结果即为步数的下界，也就是最优解。

代码如下：

class Solution {
public:
    int jump(vector<int>& nums) {
        int step=0;//最小步数
        int end=0;//最远边界
        int tmax=0;//临时值，用于计算最远边界
        int length=nums.size();
        for(int i=0;i<length-1;i++)
        {
            tmax=i+nums[i]>tmax?i+nums[i]:tmax;
            if(i==end)
            {
                end=tmax;
                step++;
            }
        }
        return step;
    }
};