2277 密码

2277 密码

有一个密码箱，0到n-1中的某些整数是它的密码。且满足：如果a和b都是它的密码，那么(a+b)%n也是它的密码(a,b可以相等，%表示整除取余数)，某人试了k次密码，前k-1次都失败了，最后一次成功了，问，该密码箱最多有多少不同的密码
对于二元一次不定方程，形式为ax+by=c其中a，b，c是整数，a×b≠0，此方程有整数解的成分必要条件 是gcd(a，b)|c
这个问题有两个结论
1.如果x是密码，那么gcd(x，n)也是密码
2.如果x，y是密码，那么gcd(x，y)也是密码，根据这两个结论，就能轻松地解决这个题了
先来证明第一个结论
构造一个方程xk-nc=gcd(x,n)也就是把xk%n写成了不是取模的形式，x×k减掉其中n的倍数；这个方程一定有解，也就是存在一个k使得xk%n=gcd(x,n)，而x是密码，(x+x)%n也是密码，所以kx%n也是密码，那么gcd(x,n)就是密码
接着来证明结论2
通过一系列的推论就能证明
所以

对于任意一个密码集合A，分析：
1.设A中所有数的GCD为x
2.得到x属于A
3.如果密码集合中有比x小的数y，则gcd(x,y)<x不符合规定，所以x是A中最小的数

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;
typedef long long ll ;
const int N = 250010 ;
ll n , k , a[N] , ans , cnt ;
bool check(int x)
{
	for(int i = 1 ;i <= cnt ;i ++)
	 if(a[i] % x == 0)
	  return false ;
	return true ; 
}
ll gcd(ll a , ll b)
{
	return b == 0 ? a : gcd(b , a % b) ;
}
int main()
{
	scanf("%lld%lld" , &n , &k) ;
	for(int i = 1 ;i <= k ;i ++)
	 {
	 	scanf("%lld" , &a[i]) ;
	 	a[i] = gcd(a[i] , n) ;
	 }
	 sort(a + 1 , a + k) ;
	 for(int i = 1 ;i < k ; i ++)
	 	if(a[i] != a[i - 1]) 
	 	 a[++ cnt] = a[i] ;
      for(ll i = 1 ;i <= sqrt(a[k]) ;i ++)
       	if(a[k] % i == 0 )
       	 {
       	 	if(check(i))
				{
					ans = n / i ;
       	 	        break ;
				} 
       	 	else if(check(a[k] / i))
       	 	 ans = n / a[k] * i ;
		 }
		printf("%lld\n" , ans) ;
       	 
	return 0 ;
}