【学习笔记】上下界网络流

一、前言

上课时，有些同学对算法的解释是错误的，好像不是非常清楚做法的原理（？），在此写一篇 blog 记录原理赠与自己与他人。

二、算法

1.无源汇上下界可行流

$n$ 个点，$m$ 条边，每条边 $e$ 有一个流量下界 $lower(e)$ 和流量上界 $upper(e)$，求一种可行方案使得在所有点满足流量平衡条件的前提下，所有边满足流量限制。

做法：

我们的网络流算法只能处理：源汇两点不要求流量守恒，边只有上届。

容易相当让每一条边都先流走一个 $lower(e)$，然后考虑每个点的流量平衡。

记每一条边流走一个 $lower(e)$ 后的图为 ${\mathbb{G}}^{\prime }$

$\Delta (u)={\sum }_{(fro,u)\in E}f(fro,u)-{\sum }_{(u,to)\in E}f(u,to)$

（含义：$u$ 点需要向外流的流量，为负表示需要接受 $-\Delta (u)$ 的流量）

V1={u∣delta(u)>0},V2={u∣delta(u)<0}\mathbb{V_1} = \{ u | delta (u) > 0 \}, \mathbb{V_2} = \{ u | delta (u) < 0 \}V1​={u∣delta(u)>0},V2​={u∣delta(u)<0}

相当于我们现在要通过一些满足上界的路径，将 $\Delta$ 为正的点的流量流给 $\Delta$ 为负的点。

分别建立一个虚拟源汇点 $s,t$。

$s$ 向所有 $\Delta (u)>0$ 的点连一条 $(s,u,\Delta (u))$。

所有 $\Delta (u)<0$ 的点向 $t$ 连一条 $(u,t,\Delta (u))$。

相当于我们从 $s$ 强推给 $\mathbb{V}1$（需要向外流的点）$\Delta (u)$ 的流量，让他们在 ${\mathbb{G}}^{\prime }$ 中乱流，最后全部流到 ${\mathbb{V}}_2$（需要从外面接受流量的点），使所有 $V_2$ 的点都得到 $-\Delta (u)$ 的流量，然后再 通过 $V_2$ 留给 $t$。

这样的话，如果最后 $t$ 得到的流量等于 ${\sum }_{u\in {\mathbb{V}}_2}-\Delta (u)$，说明所有的 ${\mathbb{V}}_2$ 的点都从${\mathbb{V}}_1$ 得到了 $-\Delta (u)$ 的流量，只有这样才能满足流量平衡。

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