屠龙勇士题解(系数不为一的同余方程组解法)

1.前言

还是对扩展中国剩余定理不熟,稍微变了一下就蒙了……

2.题解

首先用各种方法找到每条龙对应的剑。

根据题意,可以列出一下方程

atkix≡ai(modpi)atk_ix \equiv a_i \pmod {p_i}atkixai(modpi)

发现我们平时的扩展中国剩余定理有一个美妙的要求 atki=1atk_i = 1atki=1,所以我们要拼尽全力去满足这个要求。


我们先不考虑必须把龙的生命值打成非正数这个条件。

我们要表达原方程中 xxx 的取值,xxx 可取的条件是 ∃y∈Z,满足atkix+piy=ai\exists y \in Z, 满足 atk_ix + p_i y = a_iyZatkix+piy=ai,则我们用扩展欧几里得解出 xxx 的一组特解(x′)(x')(x)后,可得 x∈{ x′′∣x′′=x′+kpigcd(pi,atki),k∈Z}x \in \{x''\mid x'' = x' + k \frac{p_i}{gcd (p_i, atk_i)},k \in Z \}x{ xx=x+kgcd(p

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