【数论基础】—— 错位排列

错位排列

定义

每个数都不在自己位置的排列，简称 错排。
形式化的讲就是 若排列 $f_1,f_2,\dots ,f_n$, 对于每个 $i$，有 $f_i\ne i$ 则这个排列 $f$ 是一个错排

递推求解错排

问： $n$ 个数的错排有多少种？

我们不妨设 $d{p}_n$ 表示 $n$ 个数的排列有多少种。
我们考虑最后的一个数 $n$，他有 $n-1$ 个位置可以选择，假设他选了第 $x$ 位。

那么对于这个 $x$ 他有两种选择：

1. 排在 $n$ 号位置上
2. 不排在 $n$ 号位置上

如果他排在 $n$ 号位置上，那么其余数的方案和 $n-2$ 个数的错排是等价的。
如果他排在 $n$ 号位置上，相当于其余 $n-1$ 个数，每个数都不能排在自己的位置上（对于 $x$ 相当于不能排在 $n$ 号位置上）

因此总方案：$d{p}_n=(n-1)(d{p}_{n-1}+d{p}_{n-2})$，特别的 $d{p}_1=0,d{p}_2=1$