全错位排序

简介

全错位排列被著名数学家欧拉(Leonhard Euler，1707－1783)称为“组合数论的一个妙题”的“装错信封问题”的两个特例。

“装错信封问题”是由当时最有名的数学家约翰·伯努利(Johann Bernoulli，1667－1748)的儿子丹尼尔·伯努利(DanidBernoulli，1700－1782)提出来的，大意如下：
一个人写了n封不同的信及相应的n个不同的信封，他把这n封信都装错了信封，问都装错信封的装法有多少种？

公式证明
n个相异的元素排成一排 $a_1,a_2,…,a_n$,则$a_i$ 不在第i位的排列数为：
证明：
设1，2，…，n的全排列$t_1,t_2,…,t_n$ 的集合为I，而使$t_i=i$ 的全排列的集合记为Ai(1<=i<=n)，
则$D_n=|I|-|A1\cup A2\cup … \cup A_n|$
所以$D_n=n!-|A1\cup A2\cup … \cup A_n|$
注意到$|A_i|=(n-1)!$,
$|A_i \cap A_j|=(n-2)!$,…,$|A_1 \cap A_2 \cap … \cap A_n|=0!=1$
由容斥原理：
$D_n=n!-|A1\cup A2\cup … \cup A_n|=n!-C_n^1(n-1)!+C_n^2(n-2)!-C_n^3(n-3)!!+…+(-1)^nC_n^n*0!=n!(1-1/1!+1/2!-…+(-1)^n/n!)$

应用

1、简单排列

1个元素没有全错位排列，2个元素的全错位排列有1种，3个元素的全错位排列有2种，4个元素的全错位排列有9种，5个元素的全错位排列有44种。
即上述公式，表示全部都错有多少种错法。

2、递推公式

2.1递推公式
用A、B、C……表示写着n位友人名字的信封，a、b、c……表示n份相应的写好的信纸。把错装的总数为记作f(n)。假设把a错装进B里了，包含着这个错误的一切错装法分两类：
（1）b装入A里，这时每种错装的其余部分都与A、B、a、b无关，应有f(n-2)种错装法。
（2）b装入A、B之外的一个信封，这时的装信工作实际是把（除a之外的）(n-1 )份信纸b、c……装入（除B以外的）n－1个信封A、C……，显然这时装错的方法有f(n-1)种。

总之在a装入B的错误之下，共有错装法f(n-2)+f(n-1)种。a装入C，装入D……的n－2种错误之下，同样都有f(n-2)+f(n-1)种错装法，因此:

f(n)=(n-1) {f(n-1)+f(n-2)}（代码实现的时候这个递推公式很重要）
公式可重新写成 f(n)-nf(n-1)=-[f(n-1)-(n-1)f(n-2)] (n>2)
于是可以得到
f(n)-nf(n-1)=-[f(n-1)-(n-1)f(n-2)]
=((-1)^2)[f(n-2)-(n-2)f(n-3)]
=((-1)^3)[f(n-3)-(n-3)f(n-4)]
=……
=[(-1)^(n-2)][f(2)-2f(1)]
最终得到一个更简单的递推式 f(n)=nf(n-1)+(-1)^(n-2)
或者等价式 f(n)=nf(n-1)+(-1)^(n) n=2,3,4……

2.2概率和极限
有n封不同的信，和n个信封印上了相应的地址。将这n封信放入n个信封中。
A）求至少有一封信刚好放进正确信封中的概率pn

B）当n趋向于无穷大时 ，pn的极限是多少？

都装错信封的装法：n!(1-1/1!+1/2!-1/3!+…+(-1)^n*1/n!)所以原题解答过程为：

3、神、上帝以及老天爷
Problem Description
HDU 2006’10 ACM contest的颁奖晚会隆重开始了！
为了活跃气氛，组织者举行了一个别开生面、奖品丰厚的抽奖活动，这个活动的具体要求是这样的：

首先，所有参加晚会的人员都将一张写有自己名字的字条放入抽奖箱中；
然后，待所有字条加入完毕，每人从箱中取一个字条；
最后，如果取得的字条上写的就是自己的名字，那么“恭喜你，中奖了！”

大家可以想象一下当时的气氛之热烈，毕竟中奖者的奖品是大家梦寐以求的Twins签名照呀！不过，正如所有试图设计的喜剧往往以悲剧结尾，这次抽奖活动最后竟然没有一个人中奖！——即上述信封全都装错

我的神、上帝以及老天爷呀，怎么会这样呢？

不过，先不要激动，现在问题来了，你能计算一下发生这种情况的概率吗？

不会算？难道你也想以悲剧结尾？

Input
输入数据的第一行是一个整数C,表示测试实例的个数，然后是C 行数据，每行包含一个整数n(1 < < n <= <= 20),表示参加抽奖的人数。
Output
对于每个测试实例，请输出发生这种情况的百分比，每个实例的输出占一行, 结果保留两位小数(四舍五入)，具体格式请参照sample output。
Sample Input
1 2
Sample Output
50%

#include<iostream>
using namespace std;

int main()
{
    int c,n,i;
    //定义为double型就不需要使用long long，同时输出不需要转换类型
    double b[21]={0,1,2,6,24,120,720},a[21]={0,0,1,2};
    //计算全错位排列数
    for(i=4;i<21;i++)
    {
        //递推公式f(0)=0;f(1)=0;f(2)=1;f(3)=2；
        a[i]=(i-1)*(a[i-1]+a[i-2]);
    }
    //计算阶乘
    for(i=7;i<21;i++)
    {
        b[i]=i*b[i-1];
    }
     cin>>c;  

    while(c--)  
    {  
        cin>>n;  
        //因为要输出的是百分比
        printf("%.2lf%%\n",100*a[n]/b[n]);
        //输出用printf比cout方便得多    
    }  

    return 0;  
}

4、
Problem Description
今年暑假杭电ACM集训队第一次组成女生队,其中有一队叫RPG,但做为集训队成员之一的野骆驼竟然不知道RPG三个人具体是谁谁。RPG给他机会让他猜猜，第一次猜：R是公主，P是草儿，G是月野兔；第二次猜：R是草儿，P是月野兔，G是公主；第三次猜：R是草儿，P是公主，G是月野兔；……可怜的野骆驼第六次终于把RPG分清楚了。由于RPG的带动，做ACM的女生越来越多，我们的野骆驼想都知道她们，可现在有N多人，他要猜的次数可就多了，为了不为难野骆驼，女生们只要求他答对一半或以上就算过关，请问有多少组答案能使他顺利过关。
Input
输入的数据里有多个case,每个case包括一个n，代表有几个女生，（n<=25）, n = 0输入结束。
Sample Input
1
2
0
Sample Output
1
1
思路
从全部中选出一半以上的数目遍历，与选出来的全部正确剩下的全部排错，也就是剩下的对应错排。

#include <iostream>  
#include <cstdio>  
#include <cstring>  
#include <string>  
#include <algorithm>  
#include <cstdlib>  
using namespace std;  
int main (){  
   int m;  
   __int64 C[30][30],wrongqueue[15]={0,0,1,2};//C[][]为组合，wrongqueue为全错位排列  [0]用不到 

   for(int i=1;i<=25;i++)
   {  
       C[i][1]=i;  
       C[i][0]=1;  
       for(int j=2;j<=i;j++)
       {  
            C[i][j]=C[i][j-1]*(i-j+1)/j;  
       }   
    }

    //全错位排列  
   for(int i=3;i<=12;i++)  
      wrongqueue[i]=(i-1)*(wrongqueue[i-1]+wrongqueue[i-2]);   
   scanf("%d",&m); 

   while(m!=0)
   {  
    __int64 sum=0;  
    if(m%2==0)  
        for(int i=m/2;i<m;i++)  
            sum=sum+C[m][i]*wrongqueue[m-i];  
    else  
        for(int i=m/2+1;i<m;i++)  
            sum=sum+C[m][i]*wrongqueue[m-i];

    printf("%I64d\n",sum+1);  

    scanf("%d",&m);  
    }     
    return 0;  
}

#include <stdio.h>  
#include <stdlib.h>  
#include <string.h>  
#include <iostream>  
#include <math.h>  
using namespace std;  
int a[21];  
double PaC(int n, int m)                   //Permutation and combination.  
{  
    double s=1,i;   //小技巧,doulbe型的定义   
    for(i=0;i<m;i++)  
        s*=(n-i)/(i+1);  
    return s;  
}  


void init()                           //错排的序列   
{  
    int i;  
    a[0]=0;a[1]=0;a[2]=1;  
    for(int i=3;i<=21;i++)  
      a[i]=(a[i-1]+a[i-2])*(i-1);  
    return ;  
}  

int main()  
{  
    int N,i;  
    double sum;  
    init();  
    while(~scanf("%d",&N),N)  
    {  
        int m;  
        sum=0;  
        if(N%2==0)  
            m=N/2;  
        else  
            m=N/2+1;  
        for(i=m;i<N;i++)  
            sum+=PaC(N, i)*a[N-i];            //Cnm*a[N-m];即从中选出m个正确的，则有n-m个错排的。根据分步计数原理可知。   
        printf("%lld\n",(long long int)(sum+1));//  
    }  
    return 0;  
}