2018SD省队集训R2 D5_薇小薇卡盟-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Blue_CuSO4/article/details/80932339

本文详细解析了一道关于数论的题目，通过数学变换和优化技巧，将原始问题转化为易于计算的形式。从暴力筛选到莫比乌斯反演，逐步优化算法，最终实现了高效的求解方案。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

T2

这里写图片描述

题解

前排鸣谢LCR小姐姐QAQ

首先暴力欧拉筛模拟这个过程就是27pts的

70pts就是化柿子+卡常数

我们可以发现 $f(n)=(p_1^{x_1}+1)(p_2^{x_2}+1)...(p_k^{x_k}+1)$

那么他的形式就大概是 $f(a_1)f(a_2)...f(a_k)$ 类似这个样子，然后我们可以枚举 $f(ij)=f(i)f(j)$ ，只要ij<=n那么就是我们要求的答案的一部分，即f(ij)，容斥一下答案也就是 $\sum_{ab<=n}[(a,b)=1]a$

化个柿子

\sum i = 1 n i \sum j = 1 ⌊ n i ⌋ [(i, j) = 1]

$\sum_{i=1}^ni\sum_{j=1}^{ \lfloor \frac{n}{i} \rfloor }[(i,j)=1]$
然后反演

= \sum i = 1 n i \sum j = 1 ⌊ n i ⌋ \sum d | (i, j) μ (d)

$=\sum_{i=1}^ni\sum_{j=1}^{ \lfloor \frac{n}{i} \rfloor }\sum_{d|(i,j)}μ(d)$
套路的枚举d

= \sum d = 1 n μ (d) \sum d | i i ⌊ ⌊ n i ⌋ d ⌋

$=\sum_{d=1}^nμ(d)\sum_{d|i}i{ \lfloor \frac{{ \lfloor \frac{n}{i} \rfloor }}{d} \rfloor }$
i可以枚举d的倍数即i=id

= \sum d = 1 n μ (d) \sum i = 1 ⌊ n d ⌋ i d ⌊ ⌊ n i d ⌋ d ⌋

$=\sum_{d=1}^nμ(d)\sum_{i=1}^{{ \lfloor \frac{n}{d} \rfloor }}id{ \lfloor \frac{{ \lfloor \frac{n}{id} \rfloor }}{d} \rfloor }$

= \sum d = 1 n μ (d) \sum i = 1 ⌊ n d ⌋ i d ⌊ ⌊ n d 2 ⌋ i ⌋

$=\sum_{d=1}^nμ(d)\sum_{i=1}^{{ \lfloor \frac{n}{d} \rfloor }}id{ \lfloor \frac{{ \lfloor \frac{n}{d^2} \rfloor }}{i} \rfloor }$
我们可以发现当d^2>n的时候这个值是0了，没有意义，而且当i>n/d^2的时候后面的柿子也是0，那么

= \sum d = 1 n \sqrt μ (d) \sum i = 1 ⌊ n d 2 ⌋ i d ⌊ ⌊ n d 2 ⌋ i ⌋

$=\sum_{d=1}^{\sqrt{n}}μ(d)\sum_{i=1}^{{ \lfloor \frac{n}{d^2} \rfloor }}id{ \lfloor \frac{{ \lfloor \frac{n}{d^2} \rfloor }}{i} \rfloor }$

这样加上分块优化可以获得60+的好成绩QAQ（其实剩下的是被卡常了

然后100pts的话
前排鸣谢zyb dalao

\sum a b < = n a [(a, b) = = 1]

$\sum_{ab<=n}a[(a,b)==1]$
然后我们可以强制a < b，这样只要在后面加的时候加上a,b就好了

\sum a = 1 n \sqrt \sum b = a + 1 n a (a + b) [(a, b) = = 1]

$\sum_{a=1}^{\sqrt {n}}\sum_{b=a+1}^{n\over a}(a+b)[(a,b)==1]$
然后莫比乌斯反演

\sum a = 1 n \sqrt \sum b = a + 1 n a (a + b) \sum d | (a, b) μ (d)

$\sum_{a=1}^{\sqrt {n}}\sum_{b=a+1}^{n\over a}(a+b)\sum_{d|(a,b)}μ(d)$

\sum d = 1 n \sqrt d μ (d) \sum a = 1 n \sqrt d \sum b = a + 1 n a d 2 a + b

$\sum_{d=1}^{\sqrt{n}}dμ(d)\sum_{a=1}^{\sqrt{n}\over d}\sum_{b=a+1}^{n\over ad^2}a+b$

（当然d是从后面的a+b提出来的，因为后面的a,b枚举的都是d的倍数了）

最后一个Σ是O(1)的，前面的是标准的 $O(\sqrt{n}log \sqrt{n})$ ，~~卡完常数之后可以通过此题~~

卡常技巧：在%mod的时候，可以开一个unsigned longlong，每8次取一次%，这样似乎会快很多QAQ

代码

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cmath>
#define LL long long 
#define uli unsigned long long
using namespace std;
const int N=10000005;
const LL INF=8e18;
int mod,mu[N],pri[N],tot;bool ss[N];LL n,up;
void pre()
{
    mu[1]=1;
    for (int i=2;i<=up;i++)
    {
        if (!ss[i]) pri[++tot]=i,mu[i]=-1;
        for (int j=1;j<=tot && pri[j]*i<=up;j++)
        {
            ss[pri[j]*i]=1;
            if (i%pri[j]==0) break;
            mu[pri[j]*i]=-mu[i];
        }
    }
}
LL ksm(LL a,LL k)
{
    LL ans=1;
    for (;k;k>>=1,a=a*a%mod)
      if (k&1) ans=ans*a%mod;
    return ans;
}
int main()
{
    freopen("sum.in","r",stdin);
    freopen("sum.out","w",stdout);
    scanf("%lld%d",&n,&mod);
    up=sqrt(n);pre();LL ans=0;
    for (LL d=1;d<=up;d++)
      if (mu[d])
      {
        LL ok=0;LL sb=up/d,lx=n/d/d;
        for (LL a=1;a<=sb;a++)
        {
            LL t=lx/a%mod;
            ok+=(uli)(t-a)*(t+a*3+1);
            if (ok>INF) ok%=mod;
        }
        ans+=ok%mod*d*mu[d]%mod;
      }
    ans=ans%mod*ksm(2,mod-2)%mod;
    ans++;
    printf("%lld",(ans+mod)%mod);
}