2018SD省队集训R1 D3

最新推荐文章于 2019-04-06 21:17:00 发布

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T1

题解：

首先你可以写一个n=L的暴力，这样可以得到20pts
Polya定理的应用。先来看Polya定理。

Polya定理：设 G = {a1，a2，…，ag}是 N 个对象的置换群，用 M 种颜色给这 N 个对象着色，则不同的着色方案数为：|G|^(-1) * {M^c(a1) + M^c(a2) + … + M^c(ag)}。

其中 c(ai)为置换 ai 的循环节数，( i = 1，2，…，g )。

对于这道题，直接用Polya定理求解，找出所有的置换，并求出置换的循环节数。然后根据上边公式求出 M^c(ai) 的总和，再除以置换群个数。

对于这个题目，用的是旋转置换，分别顺时针旋转 i 个珠子，其循环节长度为 LCM(N，i) / i，循环节数为N / (LCM(N，i) / i)，即 GCD(N，i)。

代码：

20pts

#include <cstdio>
#include <iostream>
#define LL long long 
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
const int N=1000005;
LL mul[N],inv[N];
LL ksm(LL a,LL k)
{
    LL ans=1;
    for (;k;k>>=1,a=a*a%mod)
      if (k&1) ans=ans*a%mod;
    return ans;
}
int gcd(int a,int b){
  if (!b) return a;else return gcd(b,a%b);}
int main()
{
    freopen("color.in","r",stdin);
    freopen("color.out","w",stdout);
    int n,k,l;scanf("%d%d%d",&n,&k,&l);
    if (n==l)
    {
        LL sum=0;
        for (int i=1;i<=n;i++) sum=(sum+ksm(k,gcd(n,i)))%mod;  
        sum=sum*ksm(n,mod-2)%mod;
        printf("%lld",sum);
    }
}