省队集训DAY6

最新推荐文章于 2019-05-20 22:25:18 发布

clover_hxy

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CC 4.0 BY-SA版权

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/clover_hxy/article/details/72860006

本文介绍了一种使用矩阵乘法和前缀积技巧解决字符串匹配问题的方法，并提供了详细的算法步骤及其实现代码。通过构建特定矩阵及其逆矩阵，可以有效地处理字符串的动态变化，解决了在动态字符串上快速查询子串出现次数的问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

T1

这里写图片描述

题解

f[i]表示以字符i结尾的字符串的个数。
那么现在加入一个字符产生的贡献就是 $\sum_{i=0}^{字符集大小}f[i]$ ，然后把这个答案赋值给这个字符对应的位置。
考虑这么做会不会产生相同的串？假设acbb，考虑插入第一个b的影响会形成ab,cb,acb.那么插入第二个b会形成abb,cbb,acbb发现这些都是新产生的不会与之前的相同，而且不会影响到a,c结尾的字符串。
那么每次转移实际上是乘上了一个对角线为1,某一列为1为1的矩阵。
我们可以维护矩阵的前缀积，和逆矩阵的前缀积。
那么对于每次询问都可以看成是两个矩阵相乘。
因为矩阵是没有交换率的，所以正矩阵维护成 $A_1,A_2,A_3...$ 的形式
对于逆矩阵，我们要保证 $Inv_3,Inv_2,Inv_1$ 顺次与A中对应的矩阵相乘。所以每次更新的时候是 $Inv[i]=mul(rs[x],Inv[i-1]),rs[i]$ 表示字符x的逆矩阵。
$Inv_3*Inv_2*Inv_1*A_1*A_2*A_3$ 这样顺次相消。
如何求一个矩阵的逆矩阵？
什么是逆矩阵？ $A*A^{-1}=E$ 其中E表示单位矩阵，那么 $A^{-1}$ 是的逆矩阵。
首先将逆矩阵赋值为单位矩阵，然后对A进行高斯消元,将A矩阵变成单位矩阵，变换过程中对A矩阵的所有操作都在逆矩阵中同等实现。做完后的逆矩阵即为所求。
如果最后无法消成单位矩阵，那么说明该矩阵不存在逆矩阵。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define N 10
#define p 1000000007
#define LL long long 
using namespace std;
struct data{
    LL a[N+3][N+3];
}base[N+3],inv[N+3],ans,sum[100003],sinv[100003];
int n,m; char s[100003];
data mul(data a,data b)
{
    data c; 
    for (int i=1;i<=N;i++)
     for (int j=1;j<=N;j++) {
        c.a[i][j]=0;
        for (int k=1;k<=N;k++)
         c.a[i][j]=c.a[i][j]+a.a[i][k]*b.a[k][j];
        c.a[i][j]%=p;
     }
    return c;
}
LL quickpow(LL num,int x)
{
    LL ans=1,base=num%p;
    while (x) {
        if (x&1) ans=ans*base%p;
        x>>=1;
        base=base*base%p;
    }
    return ans;
}
void guass(data a,data &inv)
{
    for (int i=1;i<=N;i++) inv.a[i][i]=1;
    for (int i=1;i<=N;i++) {
        int num=i;
        for (int j=i+1;j<=N;j++)
         if (abs(a.a[j][i])>abs(a.a[num][i])) num=j;
        if (num!=i) {
            for (int j=1;j<=N;j++)
             swap(a.a[i][j],a.a[num][j]),
             swap(inv.a[i][j],inv.a[num][j]);
        }
        LL t=quickpow(a.a[i][i],p-2);
        for (int j=1;j<=N;j++){
            a.a[i][j]=a.a[i][j]*t%p;
            inv.a[i][j]=inv.a[i][j]*t%p;
        }
        for (int j=1;j<=N;j++)
         if (i!=j&&a.a[j][i]) {
            t=a.a[j][i];
            for (int k=1;k<=N;k++){
                a.a[j][k]=(a.a[j][k]-a.a[i][k]*t%p)%p;
                inv.a[j][k]=(inv.a[j][k]-inv.a[i][k]*t%p)%p;
             }
         }
    }
}
int main()
{
    freopen("sub.in","r",stdin);
    freopen("sub.out","w",stdout);
    scanf("%s",s+1); 
    n=strlen(s+1);
    for (int t=1;t<=9;t++) {
        for (int i=1;i<=N;i++) base[t].a[i][i]=1;
        for (int i=1;i<=N;i++) base[t].a[i][t+1]=1;
        guass(base[t],inv[t]);
    }
    ans.a[1][1]=1;
    for (int i=1;i<=N;i++) sinv[0].a[i][i]=1;
    sum[1]=base[s[1]-'a'+1];
    sinv[1]=inv[s[1]-'a'+1];
    for (int i=2;i<=n;i++)
     sum[i]=mul(sum[i-1],base[s[i]-'a'+1]),
     sinv[i]=mul(inv[s[i]-'a'+1],sinv[i-1]);
    scanf("%d",&m);
    for (int i=1;i<=m;i++) {
        int l,r; scanf("%d%d",&l,&r);
        LL ck=0;
        for (int j=1;j<=N;j++)
         for (int k=1;k<=N;k++) 
          ck=(ck+sinv[l-1].a[1][j]*sum[r].a[j][k]%p)%p;
        printf("%I64d\n",(ck+p-1)%p); 
    }

}