[BZOJ3930][CQOI2015]选数（反演+杜教筛）-优快云博客

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本文针对一个具体的数学算法竞赛题目进行了解析，通过定义F(i)和f(i)来表示特定条件下的组合计数，并利用莫比乌斯反演求解F(k)。详细推导了计算过程，并给出了实现代码。

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题目：

题解：

以前好像这样干过，设F(i)表示在范围内选n个gcd为i的方案数，f(i)表示在范围内选n个i|gcd的方案数
首先 $f(d)=\sum_{d|n}F(n)$ ，我们要求的是F(k)
反演 $F(k)=\sum_{k|d'}f(d')μ(\frac{d'}{k})$
显然根据性质 $f(d)=(\frac{H}{d}-\frac{L-1}{d})^n$
反演的柿子d’的上界是H，而且必须是k的倍数
设d’=kd，换元

F (k) = \sum d = 1 H k f (k d) μ (d) = \sum d = 1 H k μ (d) (H k d - L - 1 k d) n

$F(k)=\sum_{d=1}^{\frac{H}{k}}f(kd)μ(d)=\sum_{d=1}^{\frac{H}{k}}μ(d)(\frac{H}{kd}-\frac{L-1}{kd})^n$
我们可以处理一下这里的H,L了，H=H/k，L=(L-1)/k，所以柿子是

F(k)=∑Hd=1μ(d)(Hd−Ld)n F ( k ) = ∑ d = 1 H μ ( d ) ( H d − L d ) n $F(k)=\sum_{d=1}^Hμ(d)(\frac{H}{d}-\frac{L}{d})^n$
就是很明显的杜教筛了，然后用分块优化除法就好了

代码：

#include <map>
#include <cstdio>
#include <iostream>
#define LL long long
using namespace std;
const int maxn=1e6;
const int N=1000005;
const int mod=1e9+7;
map<LL,LL>mp;
int pri[N],tot,mu[N];bool ss[N];
LL ksm(LL a,LL k)
{
    LL ans=1;
    for (;k;k>>=1,a=a*a%mod)
      if (k&1) ans=ans*a%mod;
    return ans;
}
void init(int n)
{
    mu[1]=1;
    for (int i=2;i<=n;i++)
    {
        if (!ss[i]) pri[++tot]=i,mu[i]=-1;
        for (int j=1;j<=tot && pri[j]*i<=n;j++)
        {
            ss[pri[j]*i]=1;
            if (i%pri[j]==0) break;
            mu[pri[j]*i]=-mu[i];
        }
    }
    for (int i=1;i<=n;i++) mu[i]+=mu[i-1];
}
LL getmu(LL n)
{
    if (n<=maxn) return mu[n];
    if (mp.count(n)) return mp[n];
    LL ans=1;
    for (int i=2,last;i<=n;i=last+1)
    {
        last=n/(n/i);
        ans=(ans-getmu(n/i)*(last-i+1)%mod)%mod;
    }
    return mp[n]=ans;
}
int main()
{
    int n,k,L,H;
    scanf("%d%d%d%d",&n,&k,&L,&H);
    L--; H/=k; L/=k;
    init(min(H,maxn));LL ans=0;
    for (int i=1,last;i<=H;i=last+1)
    {
        if (L/i) last=min(H,min(H/(H/i),L/(L/i)));
        else last=min(H,H/(H/i));
        ans=(ans+ksm(H/i-L/i,n)*(getmu(last)-getmu(i-1)+mod)%mod)%mod;
    }
    printf("%lld",(ans+mod)%mod);
}