ST表浅谈

世界真的很大

说来惭愧，直到昨天才搞清楚这个st表，然后花时间整理了一下思路，终于是差不多了。其实本来不想写的，网上看来看去好像st表除了RMQ,LCA就没什么了，况且LCA我会树链剖分，RMQ能写线段树，除了代码量少的那么一点点优势，我学他干嘛？后来一想，这种倍增的思想其实可能有点用，有可能在许多dp方程之类的能用得到，况且整体思想还很简单，就直接简单说明一下了。
以RMQ为例吧，介绍一下ST表。（这里就只管区间最大值了）
首先来见识一下ST表的核心数组st[i][j]，意思是，由数列i位置往后推2^j个单位长度的区间里的最大值，然后呢，stmax的更新也就是dp的思想，st[i][j]可以由st[i][j-1],st[i+(1<<(j-1))][j-1]得到，因为2^(j-1)肯定是2^j的一半，相当于就是把一个区间的前后两部分的最大值相比较，得出这个区间的最大值，这是一个递推的关系。代码：

for(int j=1;j<=log[n];j++)
        for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++)
            st[i][j]=max(st[i][j-1],st[i+(1<<(j-1))][j-1]);

查询的时候便更简单，有了这个st表几乎无所不能，没错，o（1）查询。
记录查询区间为l，r。如果（r-l+1）正好是2^j，那么就直接返回st[l][j]就行了。但不可能每次查询的时候正好区间长度就是2的整数次幂，所以我们直接取区间长度的log值，向下取整，有可能并不能完全覆盖区间长度，但也绝对比区间的一半要长，（理解一下log），那么我们就可以把区间分成两个部分，长度都是2^(log(n))，因为只是取最值，所以两段可以重合一部分，代码：

int query(int l,int r)
{
    int k=log[r-l+1];
    return max(st[l][k],st[r-(1<<k)+1][k]);
}

这里是提前预处理了log值，从1到n，向下取整，log函数的预处理其实可以和st表的预处理结合到一起，好好理解下：

for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        log[i]=((i&(i-1))==0)?log[i-1]+1:log[i-1];
        st[i][0]=a[i];
    }

这个log就是重点了。
完整代码：

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n=100,m,a[10010],st[10010][40],log[10010];
void init()
{
    log[0]=-1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        log[i]=((i&(i-1))==0)?log[i-1]+1:log[i-1];
        st[i][0]=a[i];
    }
    for(int j=1;j<=log[n];j++)
        for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++)
            st[i][j]=max(st[i][j-1],st[i+(1<<(j-1))][j-1]);
}

嗯，就是这样。。。