【JZOJ6387/ BSOJ6361】小w与卡牌游戏 题解

【JZOJ6387/ BSOJ6361】小w与卡牌游戏 题解

题目描述

给定两个序列w和c，问将w排成什么顺序时，$\sum (w_i>c_i?1:0)$最大

科技

贪心，二分

分析

此题看似是一个博弈论，其实是一个最优规划问题，考虑贪心或DP。
由于不论那个$w_i$比$c_i$大，价值是一样的，所以此题只有一个“值的大小关系”的维度，直接贪心即可。
我们考虑贪心策略，此题的问题在于我们只要许多方案中的一种。
此时容易想到最优的值如何计算：用2个指针，每次将最大的未匹配w和最大的比他小的c匹配即可。
然后，我们考虑如何摆放更优，显然我们无法直接算出正确的排列，要一位一位考虑，此时可以正难则反，我们考虑如何摆放不会答案更劣，这要求我们扫描后缀来判断。
但如果我们在选取此位时也用$O(N)$来扫描，算法时间复杂度为$O(N^3)$会超时。
我们发现答案具有单调性，即如果$k$满足答案不变劣，那么如果选$k-1$,此时数组中最大值更大，答案必然不会变劣。
至此，我们以一个$O(Nlo{g}_2^N\times lo{g}_2^N)$的复杂度通过了此题。

AC代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1005;
int n,c1[N],c2[N],w[N],cnt,stra[N],sz,ans,tot;
bool cmp(int a,int b)
{
	return a > b;
}
bool check(int x,int y)
{
	int k = 0,p = 0;
	for(int i = 1;i <= sz;i++){
		if(k + 1 == x)//跳过被占用的w
			k++;
		if(k < sz && w[k + 1] > c2[i])
			k++,p++;
	}
	return p + tot + y == cnt;//检查ans是否变劣
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i = 1;i <= n;i++) {
		scanf("%d",&c1[i]);
		c2[i] = c1[i];
	}
	for(int i = 1;i <= n;i++)
		scanf("%d",&w[i]);
	sort(w + 1,w + 1 + n,cmp);
	sort(c2 + 1,c2 + 1 + n,cmp);
	//step one: find max value
	cnt = 0;
	for(int i = 1;i <= n;i++)
		if(cnt < n && w[cnt + 1] > c2[i])
			cnt++;//c和w都从大到小考虑，这样不必考虑更大的c会配不上w
	//当然，也可以二分查找
	//step two : put factors into the array
	int l = 1,r = n,mid;
	sz = n;
	for(int i = 1;i <= n - 1;i++) {
		for(int j = 1;j <= sz;j++) {
			if(c1[i] == c2[j]) {
				c2[j] = 0x3f3f3f3f;//为c2数组收缩打标记
				break;
			}
		}
		int k = sz + 1;
		for(int j = 1;j <= sz;j++)
			if(w[j] <= c1[i]) {
				k = j;
				break;
			}
		l = 1,r = k - 1,ans = 0;//先二分此位有贡献的情况，不考虑比ci小的w
		while(l <= r) {//由于第一次二分可能无解，所以不能用正常的二分模板
			mid = (l + r) >> 1;
			if(check(mid,1)) {
				ans = mid;
				r = mid - 1;//合法的话，贪心向大的方向移动
			} else {
				l = mid + 1;
			}
		}
		if(!ans) {//此位无论如何都不会有贡献
			l = k,r = sz;
			while(l <= r) {
				mid = (l + r) >> 1;
				if(check(mid,0)) {
					ans = mid;
					r = mid - 1;
				} else {
					l = mid + 1;
				}
			}
		}
		printf("%d ",w[ans]);
		tot += (w[ans] > c1[i]);
		sz--;
		for(int j = ans;j <= sz;j++)
			w[j] = w[j + 1];//b数组收缩，这是sz--的来历
		for(int j = 1;j <= sz + 1;j++)
			if(c2[j] == 0x3f3f3f3f) {
				for(int k = j;k <= sz;k++)
					c2[k] = c2[k + 1];//c2数组也收缩
				break;
			}
	}
	printf("%d ",w[1]);
	fclose(stdin);
	fclose(stdout);
	return 0;
}