约瑟夫环问题

递推方法解决约瑟夫环问题

这是一道蓝桥杯2018年国赛C/C++组的问题，题目是这样的：

n 个人的编号是 1~n，如果他们依编号按顺时针排成一个圆圈，从编号是1的人开始顺时针报数。
（报数是从1报起）当报到 k 的时候，这个人就退出游戏圈。下一个人重新从1开始报数。
求最后剩下的人的编号。这就是著名的约瑟夫环问题。

本题目就是已知 n，k 的情况下，求最后剩下的人的编号。

题目的输入是一行，2个空格分开的整数n, k
要求输出一个整数，表示最后剩下的人的编号。

约定：0 < n,k < 1百万

例如输入：
10 3

程序应该输出：
4

普通解法

模拟整个过程：建一个bool数组，true表示此人还活着，false表示已经自杀。这种解法的数据结构理应采用循环链表，但是对于这道题，只需要采用一般的数组，稍加一点循环链表的思想，即在控制i的增加的时候，把一般的i++改为i=(i+1)%n即可。
代码如下：

//约瑟夫环问题

#include <stdio.h>

int main()
{
	int n,k;
    scanf("%d %d",&n,&k);
    bool arr[n];
    for(int i=0;i<n;i++){
        arr[i]=true;
    }
    int now=0;
    int false_num=0;   //统计淘汰了几个人
    int j;
    if(n==1&&k==1){ //最简单的直接输出，下面就不用if了
        printf("1");
        return 0;
    }
    while(true){
        int num = 0;  //统计指针走过了几个true对象
        for(j=now;;j=(j+1)%n){
            if(arr[j]==true){
                num++;
                if(num==k){
                    arr[j]=false;
                    now = j+1;
                    false_num++;
                    num=0;
                }
                //printf("now = %d\nj = %d\nnum = %d\nfalse_num = %d\n",now,j,num,false_num);
            }

            if(false_num==n-1){
                for(int i=0;i<n;i++){
                    if(arr[i]==true){
                        printf("%d",i+1);
                        return 0;
                    }
                }
            }
        }
        
    }
	return 0;
}

这种方法时间复杂度为O(n*k)。

递推解法

F(1)=0

当有2个人的时候（N=2），报道（M-1）的人自杀，最后自杀的人是谁？应该是在只有一个人时，报数时得到的最后自杀的序号加上M，因为报到M-1的人已经自杀，只剩下2个人，另一个自杀者就是最后自杀者，用函数表示：

F(2)=F(1)+M

可以得到递推公式：

F(i)=F(i-1)+M

还是采用循环链表的思想

F(i)=(F(i-1)+M)%i

有了递推公式就可以在O（N）时间求出结果：

#include<stdio.h>

int main()
{
	int n;
	int k;
 
	scanf("%d %d",&n,&k);
	int result=0;  //N=1情况
	for (int i=2; i<=n; i++)
	{
		result=(result+k)%i;
	}
    printf("%d",result+1);
	return 0;
}

2020国赛加油！