Python学习算法系列（7）：动态规划与贪心算法

原创于 2025-03-06 11:59:58 发布 · 1k 阅读

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Python学习算法系列（7）：动态规划与贪心算法

1. 引言

动态规划（Dynamic Programming，DP） 和 贪心算法（Greedy Algorithm） 是两种常见的算法设计思想。它们在许多优化问题中有广泛的应用，能够帮助我们高效地求解最优解。

本篇博客将介绍：

动态规划的基本思想
贪心算法的基本思想
动态规划与贪心算法的应用场景

2. 动态规划（Dynamic Programming）

2.1 动态规划的基本思想

动态规划是通过将一个复杂问题分解为子问题，并将每个子问题的解存储下来，避免重复计算，从而提高效率。动态规划主要适用于最优化问题，例如求最短路径、最大子数组和等。

动态规划的核心

最优子结构：问题的最优解可以通过子问题的最优解来构建。
子问题重叠：子问题的解可以多次复用。

2.2 动态规划实现示例：斐波那契数列

斐波那契数列的递归实现效率较低，而使用动态规划能够显著提高效率。

def fibonacci(n):
    # 创建一个存储计算结果的数组
    dp = [0] * (n + 1)
    
    # 基础情况
    dp[0], dp[1] = 0, 1
    
    # 迭代计算斐波那契数
    for i in range(2, n + 1):
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
    
    return dp[n]

# 测试动态规划版的斐波那契数列
n = 10
print(f"Fibonacci({n}) = {fibonacci(n)}")  # 输出 Fibonacci(10) = 55

解释

我们用一个数组 dp 来存储每个子问题的解。通过从 dp[2] 开始迭代，直到计算出 dp[n]，从而求出斐波那契数列的第 n 项。
时间复杂度：O(n)，空间复杂度：O(n)。

2.3 动态规划的典型问题

背包问题：给定一组物品，每个物品有重量和价值，如何选择物品使得总重量不超过背包容量，且总价值最大。
最长公共子序列：给定两个字符串，求它们的最长公共子序列（LCS）。
最短路径问题：如Dijkstra算法。

3. 贪心算法（Greedy Algorithm）

3.1 贪心算法的基本思想

贪心算法的核心思想是每次选择当前最优解，从而期望通过局部最优的选择得到全局最优解。贪心算法适用于满足贪心选择性质的问题，即每次选择都是最优的，且选择的局部最优解能导致全局最优解。

贪心算法的核心

贪心选择性质：每一步的局部选择都是最优的。
最优子结构：问题的最优解由子问题的最优解构成。

3.2 贪心算法实现示例：活动选择问题

活动选择问题是经典的贪心算法问题：给定一组活动，每个活动有开始和结束时间，选择最大数量的互不冲突的活动。

def activity_selection(start, finish):
    n = len(start)
    activities = list(range(n))
    
    # 根据结束时间排序
    activities.sort(key=lambda i: finish[i])
    
    # 选择活动
    selected_activities = []
    last_end_time = -1
    for i in activities:
        if start[i] >= last_end_time:
            selected_activities.append(i)
            last_end_time = finish[i]
    
    return selected_activities

# 测试活动选择问题
start = [1, 3, 0, 5, 8, 5]
finish = [2, 4, 6, 7, 9, 9]
selected = activity_selection(start, finish)
print(f"选择的活动编号：{selected}")  # 输出 [0, 1, 3, 4]

解释

活动按结束时间排序，每次选择第一个不与前一个活动冲突的活动。
时间复杂度：O(n log n)（排序）。

3.3 贪心算法的典型问题

活动选择问题
霍夫曼编码
贪心背包问题

4. 动态规划与贪心算法的区别

特点	动态规划	贪心算法
适用问题	最优化问题，子问题重叠	最优化问题，满足贪心选择性质
方法	通过子问题的解构建整体解	每一步做出最优选择，不回溯
时间复杂度	通常较高（O(n^2)、O(nk)等）	通常较低（O(n log n)等）
结果	可以得到最优解	可能得到最优解，也可能是近似解