Python学习算法系列（2）：递归算法基础

Python学习算法系列（2）：递归算法基础

1. 引言

递归（Recursion） 是一种在函数内部调用自身的编程技巧，广泛应用于：

• 数学计算（阶乘、斐波那契数列）
• 数据结构（树、图遍历）
• 回溯算法（八皇后、全排列）

本篇博客将介绍：

• 递归的基本概念
• 递归的实现方式
• 递归的常见问题
• 如何优化递归

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2. 什么是递归？

递归函数 是一个调用自身的函数，并且必须有终止条件，否则会导致无限递归（死循环）。

📌 示例：求 n 的阶乘（n!）

def factorial(n):
    if n == 0:  # 终止条件
        return 1
    return n * factorial(n - 1)  # 递归调用

print(factorial(5))  # 输出 120

📌 解释

• factorial(5) = 5 * factorial(4)
• factorial(4) = 4 * factorial(3)
• …
• factorial(1) = 1 * factorial(0)
• factorial(0) = 1（终止）

✅ 递归核心：必须有终止条件，否则会无限递归！

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3. 递归的执行过程

以 factorial(5) 为例，递归的调用栈如下：

factorial(5) -> 5 * factorial(4)
factorial(4) -> 4 * factorial(3)
factorial(3) -> 3 * factorial(2)
factorial(2) -> 2 * factorial(1)
factorial(1) -> 1 * factorial(0)
factorial(0) -> 1 (终止条件)

然后依次返回：

factorial(1) = 1 * 1 = 1
factorial(2) = 2 * 1 = 2
factorial(3) = 3 * 2 = 6
factorial(4) = 4 * 6 = 24
factorial(5) = 5 * 24 = 120

✅ 递归执行是“先递归，后回溯”

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4. 递归的应用场景

4.1 斐波那契数列

def fibonacci(n):
    if n <= 1:  # 终止条件
        return n
    return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2)  # 递归调用

print(fibonacci(6))  # 输出 8

📌 问题

• 递归调用次数太多，导致性能低
• 例如 fibonacci(6) 需要计算 fibonacci(5) 和 fibonacci(4)，而 fibonacci(5) 又需要计算 fibonacci(4) 和 fibonacci(3)，会有大量重复计算

✅ 优化方法：使用记忆化存储

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4.2 递归遍历树结构

class Node:
    def __init__(self, value):
        self.value = value
        self.left = None
        self.right = None

def preorder_traversal(node):
    if node is None:
        return
    print(node.value, end=" ")  # 先访问根节点
    preorder_traversal(node.left)  # 递归遍历左子树
    preorder_traversal(node.right)  # 递归遍历右子树

# 构造二叉树
root = Node(1)
root.left = Node(2)
root.right = Node(3)
root.left.left = Node(4)
root.left.right = Node(5)

preorder_traversal(root)  # 输出 1 2 4 5 3

✅ 递归非常适合树形结构的数据处理

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5. 递归的优化（尾递归 & 记忆化）

5.1 尾递归优化

尾递归是指递归调用发生在函数的最后一步，Python 没有内置尾递归优化，但可以用循环代替递归。

📌 尾递归示例

def factorial_tail(n, acc=1):
    if n == 0:
        return acc
    return factorial_tail(n - 1, acc * n)

print(factorial_tail(5))  # 输出 120

✅ 但 Python 不支持真正的尾递归优化，可以用循环替代

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5.2 记忆化存储（Memoization）

📌 优化斐波那契数列

from functools import lru_cache

@lru_cache(None)
def fibonacci(n):
    if n <= 1:
        return n
    return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2)

print(fibonacci(50))  # 运行速度显著提升！

✅ @lru_cache 避免重复计算，提高效率

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6. 递归 vs 迭代

方式	优点	缺点
递归	代码简洁、易理解	可能导致栈溢出，性能较低
迭代	运行效率高，不会栈溢出	代码可能较复杂

📌 示例：斐波那契的迭代实现

def fibonacci_iter(n):
    a, b = 0, 1
    for _ in range(n):
        a, b = b, a + b
    return a

print(fibonacci_iter(50))  # 运行更快

✅ 推荐使用 迭代 + 记忆化 优化递归

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7. 总结

✅ 递归的特点

• 必须有终止条件
• 适用于分治问题、树结构遍历等
• 可能导致栈溢出，需要优化

✅ 如何优化递归

• 使用尾递归
• 使用 lru_cache 记忆化存储
• 用迭代替代递归

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📢 下一篇 Python学习算法系列（3）：排序算法（冒泡排序 & 选择排序），敬请期待！🚀

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