【动态规划】连续子序列的最大和，附二分法求解

给定以数组，找出连续子序列的最大和
例如，

nums = [3, -4, 2, -1, 2, 6, -5, 4]

其中，最大的子序列为 $[2,-1,2,6]$，结果为 $9$。

1 枚举

1.1 直接枚举

枚举法可以分成两个部分：
① 计算位置$i$到位置$j$这段连续子序列的和，记为$SCS[i][j]$
② 双指针循环遍历$i$和$j$

具体代码如下：

def SCS(nums, i, j):
    scs = 0
    for t in range(i, j + 1):
        scs += nums[t]
    return scs


def max_of_SCS(nums):
    n = len(nums)
    max_len = 0
    for i in range(n):
        for j in range(i, n):
            max_len = max(max_len, SCS(nums, i, j))
    return max_len


nums = [3, -4, 2, -1, 2, 6, -5, 4]
print(max_of_SCS(nums))

算法时间复杂度：$O(n^3)$

1.2 改进

$O(n^3)$的时间复杂度太高了，通过观察可以发现，在最内层循环的时候，并不需要分别去计算每个$SCS[i][j]$
而是在遍历$j$的时候将从$i$到$j$的最大$SCS$保存下来即可

修改代码如下：

def max_of_SCS(nums):
    n = len(nums)
    max_Sum = 0
    for i in range(n):
        this_Sum = 0
        for j in range(i, n):
            this_Sum += nums[j]
            max_Sum = max(max_Sum, this_Sum)
    return max_Sum


nums = [3, -4, 2, -1, 2, 6, -5, 4]
print(max_of_SCS(nums))

算法时间复杂度：$O(n^2)$

2 动态规划

2.1 最优性条件

假设存在一个最大和连续子序列$CS[i][j]$，则以$i-1$为结尾的连续子序列$CS[\ast ][i-1]$，和以$j+1$为开头的连续子序列$CS[j+1][\ast ]$的连续子序列的最大和一定0。
即，
$CS[\ast ][i-1]\le 0,\forall \ast \in [0,i-2]$
$CS[j+1][\ast ]\le 0,\forall \ast \in [j+2,n-1]$

2.2 最优性条件证明

反证法：
假设存在一个最大和连续子序列$CS[i][j]$，并且存在$CS[t][i-1]>0,t\in [0,i-2]$
则$CS[t][j]$=$CS[t][i-1]+CS[i][j]>CS[i][j]$
与$CS[i][j]$是最大值矛盾

2.2 状态更新

将从$0$到$i$中的连续子序列的最大和记为$MSCS[i]$
$MSCS[0]$=$num[0]$
状态更新函数可以定义为：
① 如果$MSCS[i-1]>0$
$MSCS[i]$=$MSCS[i-1]+num[i]$
② 如果$MSCS[i-1]\le 0$
$MSCS[i]$=$0+num[i]$

2.3 代码

def max_of_SCS(nums):
    n = len(nums)
    MSCS = [0] * n
    MSCS[0] = nums[0]
    for i in range(1, n):
        if MSCS[i-1] > 0:
            MSCS[i] = MSCS[i-1]+nums[i]
        else:
            MSCS[i] = nums[i]
    return max(MSCS)

nums = [3, -4, 2, -1, 2, 6, -5, 4]
print(max_of_SCS(nums))

算法时间复杂度：$O(n)$

3 二分法

3.1 二分规则

假设将数组$num{s}_{0,n-1}$二分为$num{s}_{0,m}$和$num{s}_{m+1,n-1}$，则连续子序列的最大和有三种情况：

1. 左子数组的连续子序列的最大和，记为$MSCS[0][m]$
2. 右子数组的连续子序列的最大和，记为$MSCS[m+1][n-1]$
3. 左子数组中以$m$为结尾的连续子序列的最大和$+$右子数组中以$m+1$为开头的连续子序列的最大和，记为$MSCS[i][m]+MSCS[m+1][j],i\in [0,m-1],j\in [m+2,n-1]$

3.2 思路

函数$MSCS(nums,i,j)$
如果$i==j$，返回$nums[i]$；
否则，按照返回上面的三种情况的最大值。

3.3 代码

def MSCS(nums, i, j):
    if i == j:
        return nums[i]
    m = (i+j) // 2
    max_l = MSCS(nums, i, m)
    max_r = MSCS(nums, m+1, j)
    max_mix_l = 0
    mix_l = 0
    for t in reversed(range(i, m+1)):
        mix_l += nums[t]
        max_mix_l = max(max_mix_l, mix_l)
    max_mix_r = 0
    mix_r = 0
    for t in range(m+1, j+1):
        mix_r += nums[t]
        max_mix_r = max(max_mix_r, mix_r)

    return max(max_r, max_l, max_mix_l+max_mix_r)

def max_of_SCS(nums):
    return MSCS(nums, 0, len(nums)-1)

nums = [3, -4, 2, -1, 2, 6, -5, 4]
print(max_of_SCS(nums))

算法时间复杂度：$O(nlo{g}_{2}n)$

4 对比

算法	时间复杂度	n=8000时，耗时 / s
枚举法	$O(n^2)$	2.778
动态规划	$O(n)$	0.001
二分法	$O(nlo{g}_{2}n)$	0.015