【算法设计与分析】作业2：动态规划

题目1 最长递增子序列

1. 最长递增⼦序列（LIS）

   1. 编程实现求解最长递增⼦序列的三种动态规划算法（⼀些细节请参考课件）

      1.1 算法1：令$L(k)$表示$s[\mathrm{1..}n]$中以$s[k]$结尾的LIS的长度，原问题即求解${\max }_{1\le k\le n}L(k)$

      1.2 算法2：令$L(i,j)$表示$s[\mathrm{1..}n]$中每个元素都⼤于$s[i]$的LIS的长度，再令$s[0]=-\infty$，原问题即求
      解$L(0,1)$

      1.3 算法3：构建数组$L$，令$L(k)$表示$s[\mathrm{1..}n]$中⻓度为$k$且末尾元素最⼩的递增⼦序列的末尾元素，原问题即求解$L$的长度

2. 上述算法仅仅求出LIS的长度，请对其改进以求出具体的序列。⾸先给出每种改进算法的基本思路，然后给出伪代码，并分析算法的时空复杂度。

算法1

基本思路

1 建立递归关系

1.1 要求解的子问题：令$L(k)$表示$s[\mathrm{1..}n]$中以$s_k$结尾的$LIS$的具体序列。

1.2 如何基于子问题求解原问题：根据$L(i)(1\le i\le k-1)$，找到某个下标$i$，这个下标的值$s_i$小于$s_k$ 且这个下标对应的具体序列$L(i)$的长度最长。

1.3 基本情况：原始算法中当$k=1$时，$L(k)=1$。改进算法中同样认定$k=1$时$L(k)=1$且具体序列中只有$s_1$

1.4 递归情况：记原始算法中$LIS$长度为$Len(k)$，本改进算法中具体序列为$L(k)$。根据原始算法中的递归关系，找到使得原始算法中递归关系 L e n ( k ) = max ⁡ { 1 , max ⁡ 1 ≤ i ≤ k − 1 { L e n ( i ) + 1 ∣ s k > s i } } Len(k)=\max\{1,\max_{1\le i \le k-1}\{Len(i)+1|s_k>s_i\}\} Len(k)=max{ 1,max1≤i≤k−1​{ Len(i)+1∣sk​>si​}}中满足$s_k>s_i$的对应下标$i$。若$Len(k)=1$，则认为：以$s_k$结尾的$LIS$的具体序列有且只有$s_k$一项，即$L(k)=[s_k]$。若$Len(k)\ne 1$ ，根据 max ⁡ 1 ≤ i ≤ k − 1 { L e n ( i ) + 1 ∣ s > s i } } \max_{1\le i \le k-1}\{Len(i)+1|s_>s_i\}\} max1≤i≤k−1​{ Len(i)+1∣s>​si​}}的计算情况，可找到以$s_k$为结尾的具体序列中的序列前一项$s_i$，即：$L(k)=[L(i),s_k]$

2 自底向上求解

2.1 备忘录形式：开辟一个新的数组$Last[\mathrm{1..}n]$，$Las{t}_k$表示使得 L e n ( k ) = max ⁡ { 1 , max ⁡ 1 ≤ i ≤ k − 1 { L e n ( i ) + 1 ∣ s k > s i } } Len(k)=\max\{1,\max_{1\le i \le k-1}\{Len(i)+1|s_k>s_i\}\} Len(k)=max{ 1,max1≤i≤k−1​{ Len(i)+1∣sk​>si​}}中满足 s k > s i s_k>s_i