Cpp环境【Code[VS]5226】物品选取

背包问题求解

最新推荐文章于 2025-06-27 19:48:38 发布

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#cpp #背包问题 #贪心 #动态规划

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本文介绍了一个包含甲乙丙三类物品的背包问题解决方案，通过动态规划的方法实现了对背包最大价值的计算，特别针对甲类物品的价值与体积之间的二次函数关系进行了详细解析。

【问题描述】

　　小沐同学确信所有问题都有个多项式时间算法，为了证明，他决定自己去当一次旅行商，在上路之前，小 X 需要挑选一些在路上使用的物品，但他只有一个能装体积为 m 的背包。显然，背包问题对小沐来说过于简单了，所以他希望你来帮他解决这个问题。
　　小沐可以选择的物品有 n样，一共分为甲乙丙三类：
　　1．甲类物品的价值随着你分配给他的背包体积变化，它的价值与分配给它的体积满足函数关系式，v(x) = A*x^2-B*x，x表示分配给该物品的体积，为非负整数，A，B是每个甲类物品的两个参数。注意每个体积的甲类物品只有一个。
　　2．乙类物品的价值 A和体积 B都是固定的，但是每个乙类物品都有个参数C，表示这个物品可供选择的个数。
　　3．丙类物品的价值 A和体积 B也是固定的，但是每个丙类物品可供选择的个数都是无限多个。
　　你最终的任务是确定小沐的背包最多能装有多大的价值上路。

【输入格式】

　　第一行两个整数 n，m，表示背包物品的个数和背包的体积；
　　接下来 n行，每行描述一个物品的信息。第一个整数 x，表示物品的种类：
　　若 x 为1表示甲类物品，接下来两个整数 A,B，为A类物品的两个参数；
　　若 x 为2表示乙类物品，接下来三个整数 A,B,C。A表示物品的价值，B表示它的体积，C 表示它的个数；
　　若 x 为3表示丙类物品，接下来两个整数A,B。A表示它的价值，B表示它的体积。

【输出格式】

　　仅一行为一个整数，表示小 X的背包能装的最大价值。

【输入样例】

【样例1】
　1 0
　1 1 1

【样例2】
　4 10
　2 1 2 1
　1 1 2
　3 5 2
　2 200 2 3

【输出样例】

【样例1】
　0

【样例2】
　610

【数据范围】

对于50%的数据，只有乙和丙两类物品；
对于70%的数据，1<=n<=100, 1<=m<=500，0<=A,B,C<=200；
对于100%的数据，1<=n<=100, 1<=m<=2000，0<=A,B,C<=200；

【来源】

复赛模拟题
Code[VS]5226 原题传送矩阵
 重庆一中题库原题传送矩阵

【思路梳理】

　　背包问题，互相伤害，乙丙显然是一样的思路很容易解决主要还是看甲类：枚举给甲类的第i样物品分配多少即可！！！
　　可以证明的是：如果要选择某样甲类物品i，只要它的参数a[i].A是一个正数，那么显然选择其的体积越大，就越划算，换句话来说：这个物品一定。不严格证明如下：

当a[i].A是一个正数时，其价值与体积成二次函数关系：
　　　　
　　　　定义域为该物品能够选取的体积，值域为其对应的价格

　　根据初等数学知识可以知道，二次函数为凹函数，那么其选取的体积越大，价值也就越大是必然的，显然我们还可以根据图像知道斜率也随之增大，也就是说单位体积的价值在增大，那么选取x个单位体积的该物品一定比选取x-1个单位的该物品的结果更优。

可列出如下的状态函数&状态转移方程，时间复杂度这里写图片描述：

d(i,j)=从前i样物品中任意选择总体积不超过j的物品所能够形成的最大价值

d[i][j]=
Case1: max{ d(i-1,j-x)+a[i].A*x*x-a[i].B*x | 0<=x<=j,x代表选择分配的体积 }
Case2:max{d(i-1,j-k*a[i].B)+a[i].A*k | 0<=k<=min(a[i].C,j/a[i].B)}
Case 3: max( d(i-1,j-k*a[i].B)+a[i].A*k | 0<=k<=j/a[i].B )

【Cpp代码】

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#define maxn 105
#define maxm 2005
using namespace std;
int n,m,d[maxm];
struct data
{
    int type,A,B,C;
}a[maxn];

void dp()
{
    //d(i,j)=从前i样物品中任意选择总体积不超过j的物品所能够形成的最大价值
    //          Case 1:  max{ d(i-1,j-x)+a[i].A*x*x-a[i].B*x | 0<=x<=j,x代表选择分配的体积  }
    //d(i,j)= { Case 2:  max{ d(i-1,j-k*a[i].B)+a[i].A*k     | 0<=k<=min(a[i].C,j/a[i].B)   }
    //          Case 3:  max( d(i-1,j-k*a[i].B)+a[i].A*k     | 0<=k<=j/a[i].B

    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(a[i].type==1)
        {
            for(int j=m;j>=0;j--)
            for(int x=j;x>=0;x--)
                d[j]=max(d[j],d[j-x]+a[i].A*x*x-a[i].B*x);
        }

        if(a[i].type==2)
        {
            for(int j=m;j>=0;j--)
            for(int k=a[i].C;k>=0;k--)if(j-k*a[i].B>=0)
                d[j]=max(d[j],d[j-k*a[i].B]+a[i].A*k);
        }

        if(a[i].type==3)
        {
            for(int j=a[i].B;j<=m;j++)
                d[j]=max(d[j],d[j-a[i].B]+a[i].A);
        }

    }

    cout<<d[m];
}

int main()
{
//  freopen("in.txt","r",stdin);
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&a[i].type);
        if(a[i].type==1)        scanf("%d%d",&a[i].A,&a[i].B);
        else if(a[i].type==2)       
        scanf("%d%d%d",&a[i].A,&a[i].B,&a[i].C);
        else if(a[i].type==3)       
        {
            scanf("%d%d",&a[i].A,&a[i].B);
            a[i].C=2005;//物品的体积至少为1，背包最大容积为2000，所以可以认为2005为无限个 
        }
    }

    dp();   

    return 0;
}