Cpp环境【中山大学2004年集训队内部选拔赛】【CQYZOJ1595】小树

【问题描述】  

　　给定一棵边带权的有根树，树中包含n个结点（编号为0..n-1），其中根结点的编号为0。你的任务是在树中找出一个结点集合{a1,a2,…,am}，集合需要满足如下三个条件：
　　1）、根结点不在集合中，即0 < ai < n (1 ≤ i ≤ m)；
　　2）、集合中任意两个结点的最近公共祖先一定是根结点；
　　3）、设 wi 为结点 ai 到根的路径上包含的边的权值和，di 为结点 ai 到根的路径上包含的边的数目，那么集合中的 ∑wi/∑di 要达到最大（1 ≤ i ≤ m）。

【输入格式】  

　　第1行为整数n，表示树的结点数量，接下来的n-1行，每行包含3个整数：u,v,c，表示一条有向边的起点为u，终点为v，边的权值为c。

【输出格式】  

　　对于每组数据输出一行，为一个实数，表示最大的∑wi/∑di，四舍五入保留2位小数。

【输入样例】  

·【样例1】
　2
　0 1 2

·【样例2】
　3
　0 1 1
　0 2 2

【输出样例】  

·【样例1】
　2.00

·【样例2】
　2.00

【数据范围】  

1 ≤ n ≤ 1000

【来源】    

中山大学2004年集训队内部选拔赛

【思路梳理】

题目描述很简单，大意是在一棵给定树上寻找除了根节点以外的所有节点，使得这些节点相互之间的最近公共祖先是根节点，且这些节点到根节点的平均边权值（点到根节点的距离除以其深度）最大。

看似是一个0/1分数规划问题，实际上并不是。可以证明的是：只选一个点是最优解或者最优解之一。当且仅当存在多个深度相同的点到根节点的距离相等时，存在多个最优解。证明类似于伽利略在进行“两个铁球同时落地”的著名实验之前的推论：

假设存在多个点使得他们的∑wi/∑di是所有解中最大的。为了便于理解，不妨假设存在两个点。那么一定就是说这两个点比其他的所有值都大。

1. 如果两个节点的都不相同，那么有一定落在和之间。那么如此一来，我们可以只取比值更大的一者，使得答案更优。就像两个铁球同时落地的推论一样，如果亚里士多德的推论成立，那么一个轻一点的小球和重一点的小球绑在一起从高处丢下时，重球在下降时会有一个来自轻球的往上拉的力，轻球也有一个来自重球的向下拉的力，那么绑在一起后，新的速度会比重的小球单独下落慢，比轻球单独下落快。

2.如果两个节点的相同，那么有等式：（小学的等比定理），答案同只取两者中的一个点一样。

至此我们证明了只选一个点是最优解或者最优解之一。

【Cpp代码】

#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define maxn 1005
using namespace std;
int n,dist[maxn],dept[maxn];
vector<int>g[maxn],w[maxn];
bool vis[maxn];
double ans=0;

void read(int &x)
{
    x=0;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0' || ch>'9') ch=getchar();
    while(ch>='0' && ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
}

void DFS(int i,int d,int h)
{
    dist[i]=d;
    dept[i]=h;
    vis[i]=true;
    ans=max(ans,(double)(dist[i]*1.0/dept[i]));
    for(int j=0;j<g[i].size();j++)
    {
        int k=g[i][j],c=w[i][j];
        if(vis[k])  continue;
        DFS(k,d+c,h+1);
    }
}

void task()
{
    DFS(0,0,0);
    ans=(int)(ans*100+0.5);//四舍五入
    ans=ans/100.0;
    printf("%.2lf",ans);
}

int main()
{
//  freopen("in.txt","r",stdin);
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        int x,y,z;
        read(x),read(y),read(z);
        g[x].push_back(y);g[y].push_back(x);
        w[x].push_back(z);w[y].push_back(z);
    }
    task();
    return 0;
}