Cpp环境【NOIP2006提高组】【Code[VS]1155】【Vijos1399】 金(精)明的预算

【问题描述】  

　　金明今天很开心，家里购置的新房就要领钥匙了，新房里有一间金明自己专用的很宽敞的房间。更让他高兴的是，妈妈昨天对他说：“你的房间需要购买哪些物品，怎么布置，你说了算，只要不超过N元钱就行”。今天一早，金明就开始做预算了，他把想买的物品分为两类：主件与附件，附件是从属于某个主件的，下表就是一些主件与附件的例子：　　　
　　如果要买归类为附件的物品，必须先买该附件所属的主件。每个主件可以有0个、1个或2个附件。附件不再有从属于自己的附件。金明想买的东西很多，肯定会超过妈妈限定的N元。于是，他把每件物品规定了一个重要度，分为5等：用整数1~5表示，第5等最重要。他还从因特网上查到了每件物品的价格（都是10元的整数倍）。他希望在不超过N元（可以等于N元）的前提下，使每件物品的价格与重要度的乘积的总和最大。
　　设第j件物品的价格为v[j]，重要度为w[j]，共选中了k件物品，编号依次为j1，j2，…，jk，则所求的总和为：v[j1]w[j1]+v[j2]*w[j2]+ …+v[jk]*w[jk]。（其中为乘号）
　　请你帮助金明设计一个满足要求的购物单。

【输入格式】  

　　第1行，为两个正整数，用一个空格隔开：N m，其中N（<32000）表示总钱数，m（<60）为希望购买物品的个数。
　　从第2行到第m+1行，第j行给出了编号为j-1的物品的基本数据，每行有3个非负整数：v p q，其中v表示该物品的价格（v<10000），p表示该物品的重要度（1~5），q 表示该物品是主件还是附件。如果 q=0，表示该物品为主件，如果 q>0，表示该物品为附件，q 是所属主件的编号。

【输出格式】  

　　只有一个正整数，为不超过总钱数的物品的价格与重要度乘积的总和的最大值（<200000）。

【输入样例】  

1000 5
800 2 0
400 5 1
300 5 1
400 3 0
500 2 0

【输出样例】  

2200

【来源】    

NOIP2006提高组复赛第2题
Code[VS]原题传送矩阵
重庆一中题库原题传送矩阵

【思路梳理】

　　能够很直观地看出这是一道经典0/1背包问题的变种，所谓的价格实质上就是背包的容积，tmp=a[i].cost*a[i].importance是放入物品的价值，要求在不超过背包容积的前提下使得整个背包内物品的总价值最大。
　　部分物品有依赖性，即必须要在某种物品已经存在于背包内的前提下才能放入。如果使用暴力的回溯算法的话，可以使用标记数组，标记某个物品是否已经放入了背包。但是回溯算法的时间复杂度可以达到O(5^N)（每一个物品存在至多五种不同的方案，共有n个物品），显然不现实。
　　显然应该考虑的是动态规划。仔细观察后可以发现：物品数量并不多（至多60个），而且附件的数量只有至多2个，意味着可以进行枚举，讨论五种情况：　　

1. 既不选主件也不选附件
2. 只选主件，不选任何附件
3. 只选主件和第一个附件
4. 只选主件和第二个附件

5. 选择主件和所有的两个附件。

   　　那么这样一来不难列出状态函数：f(i,j)=从前i种物品中选取任意个总容积之和不超过j的物品时，最大的权值之和。
   　　显然我们的时间复杂度只有O(M*N)，可以轻松通过所有数据。建立存储结构时，笔者使用的是vector，将主件和它对应的附件放在同一类，dp时分类考虑即可，列出状态转移方程如下：

f(i,j)=max{f(i-1,j),f(i-1,j-x)+y | x=不同方案分别的价格，y=不同方案分别的权值和}

　　边界分析：f(0,0)=0。
　　可以使用滚动数组，省空间不省时（实际上可以）。

【Cpp代码】

#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<iostream>
#define maxm 65
#define maxn 32005
using namespace std;
int d[maxn],n,m;
struct data
{
    int cost;
    int tmp;
};
vector<data> a[maxm];

void read(int &x)
{
    x=0;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0' || ch>'9') ch=getchar();
    while(ch>='0' && ch<='9')
    {
        x=x*10+ch-'0';
        ch=getchar();
    }
}

void dp()
{
    //f(i,j)=从前i组（包括该组的主件&附件）中选择总价值不超过j的任意个物品所能够形成的最大……
    memset(d,0,sizeof(d));

    for(int i=1;i<=m;i++)if(a[i].size())
    for(int j=n;j>=0;j--)
    {
        int x=0,y=0;
        for(int k=0;k<a[i].size();k++)//比较了不选,选主件，选第1个配件+主件，选2个配件+主件的最优值 
        {
            x+=a[i][k].cost,y+=a[i][k].tmp;
            if(j>=x)    d[j]=max(d[j],d[j-x]+y);
        }

        //选第2个配件加主件
        if(a[i].size()==3)  x=a[i][0].cost+a[i][2].cost,y=a[i][0].tmp+a[i][2].tmp;
        if(j>=x)    d[j]=max(d[j],d[j-x]+y); 
    }

    cout<<d[n];
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++)//m个物品
    {
        int v,p,q;
        read(v),read(p),read(q);
        if(q==0)    a[i].push_back((data){v,v*p});//如果它是主件，独立地加入新的一组
        else a[q].push_back((data){v,v*p});
    }

    //for(int i=1;i<=n;i++) sort(a[i].begin(),a[i].end());
    dp();
    return 0;
}