Cpp环境【NOIP2013提高组】摆火柴

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原创最新推荐文章于 2026-02-15 00:22:25 发布 675 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

火柴排队（NOIP2013D1T2）火柴排队（NOIP2013D1T2）数学分析+重构数组+逆序对 数学分析：我们是要求∑(ai−bi)2的最小值，展开可以发现∑ai^2和∑bi^2的值是不会变的，也就是说只用关注交叉项就可以了，求最小值，也就是要使所有交叉项的和最大。我们可以通过排序不等式来证明。排序不等式的证明：只用记住同序和大于等于乱序和大于等于逆序和。所以，当他们为同序和时也即他们数位大小相等时... 阅读详情

【问题描述】

　　涵涵有两盒火柴，每盒装有n根火柴，每根火柴都有一个高度。现在将每盒中的火柴各自排成一列，同一列火柴的高度互不相同，两列火柴之间的距离定义为：这里写图片描述，其中 ai表示第一列火柴中第i个火柴的高度，bi表示第二列火柴中第i个火柴的高度。
　　每列火柴中相邻两根火柴的位置都可以交换，请你通过交换使得两列火柴之间的距离最小。请问得到这个最小的距离，最少需要交换多少次？如果这个数字太大，请输出这个最小交换次数对 99,999,997 取模的结果。

【输入格式】

　　共三行，第一行包含一个整数 n，表示每盒中火柴的数目。第二行有 n 个整数，每两个整数之间用一个空格隔开，表示第一列火柴的高度。第三行有 n 个整数，每两个整数之间用一个空格隔开，表示第二列火柴的高度。

【输出格式】

输出共一行，包含一个整数，表示最少交换次数对 99,999,997 取模的结果。

【输入样例 】

4
2 3 1 4
3 2 1 4

【输出样例】

【样例解释】

　　最小距离是 0，最少需要交换 1 次，比如：交换第 1 列的前 2 根火柴或者交换第 2 列的前 2 根火柴。

【数据范围】

　　对于10%的数据， 1 ≤ n ≤ 10；
　　对于 30%的数据，1 ≤ n ≤ 100；
　　对于 60%的数据，1 ≤ n ≤ 1,000；
　　对于 100%的数据，1 ≤ n ≤ 100,000，0 ≤火柴高度≤ 2^31 − 1。

【思路梳理】

　　一道有不小难度的题，是NOIP2013，Day1的第二道题，看起来难以下手，没有什么比较容易的突破口。这里就涉及到一点可能被大家所忽视的数学知识：排序不等式(sequence inequality)。所谓排序不等式，通俗的说法来说就是：顺序和大于等于乱序和大于等于逆序和。具体来说，则是：

排序不等式表述如下：
设有两组数a[1],a[2],……a[n],b[1],b[2],……b[n]满足a[1]≤a[2]≤……≤a[n],b[1]≤b[2]≤……≤b[n]（两组数均递增），则有：

a[1]b[n]+a[2]b[n-1]+……+a[n]b[1](逆序和）≤
a[1]b[t]+a[2]b[t]+……+a[n]b[t]（乱序和）≤
a[1]b[1]+a[2]b[2]+a[n]b[n]（顺序和）

式中t1，t2，……，tn是1，2，……，n的任意一个排列，当且仅当a1=a2=……=an或b1=b2=……=bn时，两个等号成立。

　　显而易见的是，我们可以使用暴力算法，用冒泡排序的暴力方法进行硬搜排序，是可以得到可观的分数的！使用冒泡排序的时间复杂度约为这里写图片描述。按照排序不等式的定义，我们并不需要将所有的火柴都分别按照递增/递减的顺序排列，只需要保证a组中第i高的火柴与b组中第i高的火柴在同一个位置就可以了。
　　那么可以建立如下的存储结构：用一个结构体存储高度和编号，然后将两组火柴分别从低到高地进行排列，从前往后地将其中一组的编号按照对应位置另一组的编号顺序转存到一个t数组中(例如笔者程序中：t[a[i].id]=b[i].id)，对其进行冒泡排序即可。

冒泡排序算法的运作如下：（从后往前）

比较相邻的元素。如果第一个比第二个大，就交换他们两个。
对每一对相邻元素作同样的工作，从开始第一对到结尾的最后一对。在这一点，最后的元素应该会是最大的数。
针对所有的元素重复以上的步骤，除了最后一个。
持续每次对越来越少的元素重复上面的步骤，直到没有任何一对数字需要比较。

高效算法：依然是上面的存储结构，但是冒泡排序改为效率归并排序，求逆序对。不容易想到，但是实现起来并不难，相信系统学习过分治算法后都能够熟练地写出这个程序来。时间复杂度由上面的这里写图片描述降低为O（n*log(n)），能够通过100%的数据。

【Cpp代码】

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define maxn 100005
using namespace std;
const long long mod=99999997;
struct data
{
    int w,id;
    friend bool operator<(data a,data b)
    {
        return a.w<b.w;//按火柴棍的高度排序（似乎应该多关键字排序）
    }
}a[maxn],b[maxn];
int t[maxn],tt[maxn],n;

void initial()
{
    for(int i=1;i<=n;i++)   t[a[i].id]=b[i].id;//将从低到高的两组火柴分别对应的编号id记录下来
}

long long solve(int s,int d)//归并排序，不赘述
{
    if(s>=d)    return 0;

    long long mid=(long long)s+d>>1;
    long long t1=solve(s,mid)%mod;
    long long t2=solve(mid+1,d)%mod;
    long long t3=t1+t2;
    int i=s,j=mid+1,k=s;
    while(i<=mid && j<=d)
    {
        if(t[i]>t[j])   {t3=(t3+mid-i+1)%mod;tt[k++]=t[j++];}
        else tt[k++]=t[i++];
    }
    while(i<=mid)   tt[k++]=t[i++];
    while(j<=d)     tt[k++]=t[j++];

    for(i=s;i<=d;i++)   t[i]=tt[i];//转存一次

    return (t3)%mod;
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i].w),a[i].id=i;//记录高度和id
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&b[i].w),b[i].id=i;
    sort(a+1,a+1+n);
    sort(b+1,b+1+n);
    initial();
    long long ans=(solve(1,n))%mod;
    cout<<ans;
    return 0;
}