BZOJ3679 数字之积

最新推荐文章于 2020-01-15 15:58:50 发布

Aqua_blue

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分类专栏： bzoj 数位DP 文章标签：数位DP bzoj3679

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数位DP

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本文介绍了一种使用数位动态规划（数位DP）解决特定类型数学问题的方法。问题要求找出区间[L,R)内各数位乘积满足0<f(x)<=n的所有整数个数。文章详细解释了如何通过离散化乘积、预处理和状态转移方程来高效求解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

3679: 数字之积
Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 128 MB
Submit: 415 Solved: 195
[Submit][Status][Discuss]

Description
一个数x各个数位上的数之积记为f(x) <不含前导零>
求[L,R)中满足0 < f(x) <= n的数的个数

Input
第一行一个数n
第二行两个数L、R

Output
一个数，即满足条件的数的个数

Sample Input
5
19 22

Sample Output
1

HINT
100% 0 < L < R < 10^18 , n <= 10^9

很基础的数位DP。
f[i][j]表示前i位各位数字乘积为j的方案数。
将乘积离散化，最多只有5194个。
然后在bzoj上莫名就rank1了？

#include <bits/stdc++.h>
#define N 22
#define M 5210
#define ll long long
using namespace std;
ll l,r,n,f[N][M],g[N][M],num[M],prev[M][10],d[2][N];
int cnt=0;

void pre(){
    ll a=1,b,c,d;
    for (int i=0;i<=29 && a<=n;i++,a*=2ll){
        b=1;
        for (int j=0;j<=18 && a*b<=n;j++,b*=3ll){
            c=1;
            for (int k=0;k<=12 && a*b*c<=n;k++,c*=5ll){
                d=1;
                for (int l=0;l<=10 && a*b*c*d<=n;l++,d*=7ll)
                    num[++cnt]=a*b*c*d;
            }
        }
    }
    sort(num+1,num+1+cnt);
    for (int i=1;i<=cnt;i++)
        for (ll j=1;j<10 && num[i]*j<=n;j++)
            prev[lower_bound(num+1,num+1+cnt,num[i]*j)-num][j]=i;
}

void calc(){
    for (ll i=l-1;i;i/=10)
        d[0][++d[0][0]]=i%10;
    for (ll i=r-1;i;i/=10)
        d[1][++d[1][0]]=i%10;
    f[0][1]=1;
    for (int i=1;i<=cnt;i++)
        g[0][i]=1;
    for (int i=1;i<=d[1][0];i++)
        for (int j=1;j<=cnt;j++){
            for (int k=1;k<10;k++)
                f[i][j]+=f[i-1][prev[j][k]];
            g[i][j]=g[i][j-1]+f[i][j];
        }
}

ll solve(int x){
    ll p=1,ans=0;
    for (int i=d[x][0];i && d[x][i];p*=d[x][i],i--){
        for (ll j=1;j<d[x][i] && p*j<=n;j++)
            ans+=g[i-1][upper_bound(num+1,num+1+cnt,n/(p*j))-num-1];
        if (i==1)
            ans+=g[i-1][upper_bound(num+1,num+1+cnt,n/(p*d[x][i]))-num-1];
    }
    for (int i=1;i<d[x][0];i++)
        ans+=g[i][upper_bound(num+1,num+1+cnt,n)-num-1];
    return ans;
}

int main(){
    scanf("%lld%lld%lld",&n,&l,&r);
    if (!n){
        puts("0"); return 0;
    }
    pre();
    calc();
    printf("%lld\n",solve(1)-solve(0));
    return 0;
}