数字游戏2——数位dp打卡

这篇博客介绍了一种利用动态规划解决模运算下特定数字出现次数的问题。通过预处理状态并存储余数信息,可以有效地计算出满足条件的数字组合。代码中展示了如何初始化状态、进行状态转移以及实现模运算,适用于处理类似模运算计数的场景。

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数字游戏2

思路:
本题预处理比较复杂
fijk表示第i位上是j,并且余数是k的数字的个数
可以由i-1的状态转移过来
思考:为什么要存下余数的状态,这是因为,我们要去算modN为0的数字的时候要去算出前缀,如果前缀和后面的数总和modN为0,那么就是我们要求的方案数。
注意,以后遇到mod的方案数的时候都可以采用这样的方式去做。

代码:

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 15,M = 105;
int f[N][N][M];
int p;
int mod(int x,int y){
    return (x%y+y)%y;
}
void init()
{
    memset(f,0,sizeof f);
    for(int i = 0;i<=9;i++) f[1][i][i%p]++;

    for(int i = 2;i<N;i++){
        for(int j = 0;j<=9;j++){
            for(int k = 0;k<p;k++){
                for(int x = 0;x<=9;x++)
                    f[i][j][k]+=f[i-1][x][mod(k-j,p)];
            }
        }
    }
}
int dp(int n){
    if(!n) return 1;
    vector<int> nums;
    while (n){
        nums.push_back(n%10);
        n/=10;
    }
    int res = 0;
    int last = 0;//存的是前缀的信息
    for(int i = nums.size()-1;i>=0;i--){
        int x = nums[i];
        for(int j = 0;j<x;j++)
            res += f[i+1][j][mod(-last,p)];
        last += x;

        if(!i&&last%p==0)
            res++;
    }
    return res;
}

int main() {

    int l,r;
    while (cin>>l>>r>>p){
        init();
        cout<<dp(r)-dp(l-1)<<endl;
    }
    return 0;
}

### 数位DP数字游戏中的应用 数位动态规划数位DP)作为一种特定形式的动态规划,在处理涉及数字各个数位上的特性时非常有效。这类问题通常出现在算法竞赛中,尤其是在蓝桥杯等赛事里频繁现身[^1]。 #### 定义状态 对于大多数基于数位游戏或挑战来说,定义合适的状态至关重要。一般而言,会采用一个三维数组`dp[pos][state][limit]`来表示当前位置、当前状态下是否存在某种属性以及是否受到前导零的影响等问题下的最优解。其中: - `pos`: 当前正在处理的数位位置; - `state`: 可能代表多种含义,比如奇偶性计数器或其他与题目条件紧密关联的信息; - `limit`: 表明前面所有的数位都紧贴给定范围的最大值边界;如果为真,则意味着本层的选择也受限于该最大值对应的这一位是什么。 ```cpp int dp[20][100]; // 假设最多有20位十进制整数, state的具体意义取决于具体问题 bool limit; ``` #### 状态转移方程 当明确了上述三个维度之后,就可以通过递归来实现自顶向下的求解过程,并借助记忆化技术加速运算效率。每次迭代过程中,尝试填充每一位可能取到的所有合法数值,并更新相应的子问题答案直到遍历完整个字符串为止。此时需要注意的是要根据实际情况调整`state`参数传递逻辑以适应不同场景需求。 例如在一个简单的例子中,假设目标是从区间\[L,R\]内找出满足某些特殊性质(如不含连续相同字符)的正整数数量。那么可以这样构建状态转移关系: ```cpp // 记忆化搜索函数模板 long long dfs(int pos, int pre, bool same, bool leadZero, bool isLimit) { if (pos == length_of_number) return !leadZero; // 边界情况判断 if (!isLimit && ~dp[pos][pre]) return dp[pos][pre]; long long res = 0; int up = isLimit ? digits[pos] : 9; // 如果受限制则最高只能选到digit[pos], 否则可自由选择至9 for (int i = 0; i <= up; ++i) { // 枚举当前位放置什么数字 if ((same && i == pre)) continue; // 跳过违反规则的情况 res += dfs(pos + 1, i, i==pre&&(!leadZero), leadZero&&(i==0), isLimit && i == up); } if (!isLimit) dp[pos][pre] = res; return res; } ``` 此段伪代码展示了如何利用数位DP框架去解答一类具有约束性的组合计数类问题。当然,实际编码还需依据具体的业务背景做适当修改和完善[^3]。
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