【贪心算法（三）】并查集和克鲁斯卡尔算法

1介绍

本节将记录两个问题，（1）并查集；（2）克鲁斯卡尔算法；。

这是贪心算法最后一节，可能不是所有的问题都与贪心算法有关，但是都是我认为有趣且比较重要的东西，有必要统一学习记录一下。可能我举例不太文雅，但绝对没有歧视和嘲讽任何群体的意思，只是为了让人印象深刻一些。

2并查集

2.1原理

2.1.1基础

我们在使用QQ或者其他社交软件的时候，会发现有一个好友推送的功能，也就是向你推荐你朋友的朋友。如果我们认定你朋友的朋友就是你的朋友，那么你的朋友圈就足够大了。倘若现在出现一个美女——如花，你非常想认识她/他，首先你不认识她，其次你朋友圈里也没有人认识如花和如花朋友圈里的人。

当然最直接的方法是直接去搭讪如花，这是最简单的方法。但是你想做的更高效一些，不能只考虑自己的幸福，因为你所处的是闷骚型屌丝群体，都是单身狗，而如花所处的朋友圈都是女神（原谅老郭），所以，有没有什么办法让这两个朋友圈都互相认识呢？

很简单，让你朋友圈的老大谦哥去跟对方朋友圈的老大老郭谈一谈，谈妥以后就可以联谊了，至于怎么联谊，从此以后，是让谦哥认老郭做朋友圈老大，还是让老郭认谦哥做朋友圈老大，这个也有讲究，稍后讨论。

可以总结一下这个过程：（1）你要认识如花；（2）你去找你的老大谦哥；（3）如花去找她的老大老郭；（4）发现你们两个的老大不是同一个人（谦哥和老郭），于是联合。

 

程序的一般结构，三个函数，一个数组：

（1） 一个数组：用来存贮当前数据的前驱结点，如：Arry[i]=j表示i的前驱是j，当Arry[i]=i时表示i是根结点。

（2） Find函数：寻找老大；

int Find(int num){
	while(Arry[num]!=num)
		num=Arry[num];
	return num;
}

（3） Connect函数:判断两人是否认识，是返回true，否返回false

bool Connect(int a,int b){
	if(Arry[a]==Arry[b])
		return true ;
	return false;
}

（4） Union函数：联合

void Union(int a ,int b){
	int aRoot=Find(a);
	int bRoot=Find(b);
	if(aRoot!=bRoot)
		Arry[aRoot]=bRoot;
}

2.1.2路径压缩

现在来优化一下，假如你的朋友圈是下面这种结构的，也就是说，你可能太宅了，朋友圈中很多牛逼的人物你接触不到。

如果是这样的话，你想促成这次联谊，就要一层一层往上去找老大，一个个问“咱们这个圈子谁比较有号召力啊？”，这样劳心费力，操碎了心，还不如直接去找谦哥来的快。

我们要想办法把路径压缩成上图这样比较好。我们在Find函数里压缩，修改前驱就可以了。当然还有很多高明的压缩手法此处就不拓展了。

路径压缩：

int Find(int num){
	int root=num,temp;
	while(Arry[root]!=root)
		root=Arry[root];
	//路径压缩
	while(num!=root){
		temp=Arry[num];
		Arry[num]=root;
		num=temp;
	}
	return num;
}

2.1.3畸形树

回到之前的一个问题，“从此以后，是让谦哥认老郭做朋友圈老大，还是让老郭认谦哥做朋友圈老大”。

之前默认的是Arry[aRoot]=bRoot，为什么不写成Arry[bRoot]=aRoot？这样一味跪舔女神有意义吗？毕竟不是所有的单身狗都是哈士奇，也有很多独狼，就像人生苦短，有人选择及时行乐，有人选择创造价值，无所谓对错，只是个人选择而已。

并查集告诉我们，一味地，盲目地妥协只能造成畸形，从树的角度而言，下列哪种树最合适一目了然。

给出一张正规的比较图。

优化代码，小树附在大树旁，要给每一个节点一个Size，那么所有结点的Size可以存进一个数组里。

Size数组的初始化，size[i]=j意思是以i为根结点的树中，有j个节点，初始化，每个结点是相互独立的，只包括自己：

for (int i = 0; i < max; i++)  
		 size[i] = 1;  

优化一下union函数：

void Union(int a ,int b){
	int aRoot=Find(a);
	int bRoot=Find(b);
	if(aRoot<bRoot){
		Arry[aRoot]=bRoot;
		size[bRoot]+=size[aRoot];
	}
	else {
		Arry[bRoot]=aRoot;
		size[aRoot]+=size[bRoot];
	}
}

给出一张正规的优化前（上）和优化后（下）的比较图，很明显优化后的查找速率更快。接下来，用并查集解决一个实际问题。

2.2问题

问题：今天是Ignatius的生日。他邀请了许多朋友。现在是吃晚饭的时间了。Ignatius想知道他至少需要多少桌。你必须注意到并不是所有的朋友都认识对方，而且所有的朋友都不想和陌生人呆在一起。

这个问题的一个重要规则是，如果我告诉你A知道B，B知道C，意思是A，B，C互相了解，所以他们可以呆在一桌中。

例如：如果我告诉你A知道B，B知道C，D知道E，那么A，B，C可以呆在一桌，D，E必须留在另一桌。所以伊格至少需要2桌。

2.3解析

详细的就不用解释了，只是最后输出的是树的数量，最初Count=M，每次合并（Union）Count就要减1，或者找根结点的个数，循环数组序号与值相等的即为根结点。

AC源代码：

#include<iostream>
using namespace std;
#define max 25
//数组
int Arry[1003];
int size[1003];
//find
int Find(int num){
	int root=num,temp;
	while(Arry[root]!=root)
		root=Arry[root];
	//路径压缩
	while(num!=root){
		temp=Arry[num];
		Arry[num]=root;
		num=temp;
	}
	return num;
}
//connect
bool Connect(int a,int b){
	if(Arry[a]==Arry[b])
		return true ;
	return false;
}
//union
void Union(int a ,int b){
	int aRoot=Find(a);
	int bRoot=Find(b);
	if(aRoot==bRoot)
		return ;
	if(aRoot<bRoot){
		Arry[aRoot]=bRoot;
		size[aRoot]+=size[bRoot];
	}
	else {
		Arry[bRoot]=aRoot;
		size[bRoot]+=size[aRoot];
	}

}
int main (){
	int n,m;//m为数据组数，n为结点个数
	int i,j,k;//循环用
	int x,y;//输入的两个参数
	int count;
	cin>>k;
	while(k--){
		cin>>n>>m;
		count=0;
		//初始化size数组
		for (i = 0; i <n; i++)  
			 size[i] = 1;
		//初始化Arry数组
		for(i=0;i<n;i++)
			Arry[i]=i;
		for(i=0;i<m;i++){
			cin>>x>>y;
			Union(x-1,y-1);
		}
		for(j=0;j<n;j++){
			if(Arry[j]==j)
				count++;
		}
		cout<<count<<endl;
	}
	return 0;
}

2.3结果

3克鲁斯卡尔算法

3.1问题

问题：求上图的最小生成树。

3.2分析

这个问题，我之前在写【动态规划（二）】时用普里姆算法解析过了，这次用克鲁斯卡尔算法详解一次。这跟并查集有很重要的联系。

（1）依据贪心算法思想，要求最小生成树，那么每次需要寻找最小权值的边，然后依据边确定相应的结点

（2）找最小权值的边很容易，只需要升序排序即可，问题在于一个结点对应着多个边，各种交错，很容易形成环路，那样求得的肯定就不是最小生成树了。

（3）我们回到并查集，去掉所有的边（其实是把他们放进一个数组里按升序排序），把他们看成一个个独立的结点，

（4）把每个结点看成一个独立的树，遍历边权值数组，每次寻找最小的，如果边两端的结点所在树的根节点不通，则说明二者为两棵树，这样合并之后就不会出现环路的情况了。

（5）那么我们来给出克鲁斯卡尔算法的框架（可能会有些细微不同，因为我在尽量把它跟并查集的框架保持一致，）

#define Maxvex 9//最多点数
#define Maxedge 81//最多边数
#define INFINITY 65536
typedef struct 
{
	int begin;
	int end;
	int weight;
}Edge;
int Parent[Maxvex];//记录每个根结点的前驱结点
//不影响树的结构只起记录作用:不考虑畸形树的问题
int Find(int num){
	int root = num, temp;
	while (Parent[root]!= root)
		root = Parent[root];
	return num;
}
bool Union(int s, int e){
	int sRoot = Find(s);
	int eRoot = Find(e);
	if (sRoot != eRoot){
		Parent[eRoot] = sRoot;//不需要考虑畸形树的问题
		return true;
	}
	return false;
}
void KrusKal(int M[Maxvex][Maxvex]){
	 Edge e[Maxedge],temp;
	 int i, j,t=0;

	 //初始化Parent数组,在大话数据结构中此处全初始化为0，原理是一样的，本人此处是为确保和上述所讲并查集保持一致
	 for (i = 0; i < Maxvex;i++){
		 Parent[i] = i;
	 }
	 //开始选边
	 for (i = 0; i < t;i++){
		 if (Union(e[i].begin,e[i].end))
			 cout << "(" << e[i].begin<< "," << e[i].end << "),"<<e[i].weight << endl;
	 }
}

（6）《大话数据结构》关于克鲁斯卡尔算法，跟我在此处的代码是有许多不同的。首先，它把union并入了void KrusKal(int M[Maxvex][Maxvex])，其次， Parent[i]它记录的是下一个结点，我们记录的是前驱Parent[eRoot] = sRoot;，从而该数组初始化可能不同，if (sRoot != eRoot)不需变动。再次，路径压缩与畸形树的优化可有可无，因为Parent不影响树的结构只起记录作用，最后给出源代码。

源代码：

#include<iostream>
using namespace std;
#define Maxvex 9//最多点数
#define Maxedge 81//最多边数
#define INFINITY 65536
typedef struct 
{
	int begin;
	int end;
	int weight;
}Edge;
int Parent[Maxvex];//记录每个根结点的前驱结点
//不影响树的结构只起记录作用:不考虑畸形树的问题
int Find(int num){
	int root = num, temp;
	while (Parent[root]!= root)
		root = Parent[root];
	//路径压缩
	while (num != root){
		temp = Parent[num];
		Parent[num] = root;
		num = temp;
	}
	return num;
}
bool Union(int s, int e){
	int sRoot = Find(s);
	int eRoot = Find(e);
	if (sRoot != eRoot){
		Parent[eRoot] = sRoot;//不需要考虑畸形树的问题
		return true;
	}
	return false;
}
void KrusKal(int M[Maxvex][Maxvex]){
	 Edge e[Maxedge],temp;
	 int i, j,t=0;

	 //初始化Parent数组,在大话数据结构中此处全初始化为0，原理是一样的，本人此处是为确保和上述所讲并查集保持一致
	 for (i = 0; i < Maxvex;i++){
		 Parent[i] = i;
	 }
	 //处理矩阵，化成Edge
	 for (i = 0; i < Maxvex;i++){
		 for (j = i+1; j < Maxvex; j++){
			 if (M[i][j] < INFINITY){
				 e[t].begin = i;
				 e[t].end = j;
				 e[t].weight = M[i][j];
				 t++;
			 }
		 }
	 }
	 //根据贪心思想，每次选取最小的边，先对Edge按升序排序
	 for (i = 0; i <t; i++){
		 for (j = i + 1; j <t; j++){
			 if (e[i].weight> e[j].weight){
				 temp = e[i];
				 e[i] = e[j];
				 e[j] = temp;
			 }
		 }
	 }
	 //开始选边
	 for (i = 0; i < t;i++){
		 if (Union(e[i].begin,e[i].end))
			 cout << "(" << e[i].begin<< "," << e[i].end << "),"<<e[i].weight << endl;
	 }
}
int main(){
	//构建图矩阵
	int MyGraph[Maxvex][Maxvex] = {
		{ 0, 10, INFINITY, INFINITY, INFINITY, 11, INFINITY, INFINITY, INFINITY },
		{ 10, 0, 18, INFINITY, INFINITY, INFINITY, 16, INFINITY, 12 },
		{ INFINITY, INFINITY, 0, 22, INFINITY, INFINITY, INFINITY, INFINITY, 8 },
		{ INFINITY, INFINITY, 22, 0, 20, INFINITY, 24, 16, 21 },
		{ INFINITY, INFINITY, INFINITY, 20, 0, 26, INFINITY, 7, INFINITY },
		{ 11, INFINITY, INFINITY, INFINITY, 20, 0, 17, INFINITY, INFINITY },
		{ INFINITY, 16, INFINITY, INFINITY, INFINITY, 17, 0, 19, INFINITY },
		{ INFINITY, INFINITY, INFINITY, 16, 7, INFINITY, 19, 0, INFINITY },
		{ INFINITY, 12, 8, 21, INFINITY, INFINITY, INFINITY, INFINITY, 0 } };
	KrusKal(MyGraph);
	return 0;
}

3.3结果

蓝色框为边出现顺序。

八个问题的源代码项目（19）：https://github.com/AngryCaveman/C-Struct.git