矩阵快速幂

本文详细解析了矩阵快速幂算法的实现过程,包括矩阵乘法和快速幂的结合,通过具体示例展示了如何求解矩阵的高次幂,适用于算法竞赛和高级数学计算场景。

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                                     1415: [蓝桥杯]矩阵乘法

                                                    时间限制: 1 Sec  内存限制: 256 MB
 

题目描述

给定一个N阶矩阵A,输出A的M次幂(M是非负整数)
  例如:
  A =
  1 2
  3 4
  A的2次幂
  7 10
  15 22

输入

第一行是一个正整数N、M(1<=N<=30, 0<=M<=5),表示矩阵A的阶数和要求的幂数

接下来N行,每行N个绝对值不超过10的非负整数,描述矩阵A的值

输出

输出共N行,每行N个整数,表示A的M次幂所对应的矩阵。相邻的数之间用一个空格隔开

样例输入 Copy

2 2

1 2

3 4

样例输出 Copy

7 10

15 22

#include<bits/stdc++.h>
#define inf 0x3f3f3f3f
#define LL long long
using namespace std;
int n;
struct MAT
{
    LL t[50][50];
};
MAT mul(MAT x,MAT y)
{
    MAT c;
    for(int i=0; i<n; i++)
    {
        for(int j=0; j<n; j++)
        {
            c.t[i][j]=0;
        }
    }
    for(int i=0; i<n; i++)
    {
        for(int j=0; j<n; j++)
        {
            for(int k=0; k<n; k++)
            {
                c.t[i][j]=c.t[i][j]+(x.t[i][k]*y.t[k][j]);
            }
            // printf("%d ",c.t[i][j]);
        }
        // printf("\n");
    }
    return c;
}
MAT quick_pow(MAT M1,int b)
{
    MAT ans;
    //初始化单位矩阵
    for(int i=0; i<n; i++)
    {
        for(int j=0; j<n; j++)
        {
            if(i==j)
                ans.t[i][j]=1;
            else
                ans.t[i][j]=0;
        }
    }
    while(b)
    {
        if(b&1)
            ans=mul(ans,M1);
        M1=mul(M1,M1);
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    int k;
    scanf("%d %d",&n,&k);
    MAT M;
    for(int i=0; i<n; i++)
    {
        for(int j=0; j<n; j++)
        {
            scanf("%lld",&M.t[i][j]);
        }
    }
    MAT out=quick_pow(M,k);
    for(int i=0; i<n; i++)
    {
        for(int j=0; j<n; j++)
        {
            printf("%lld ",out.t[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }
    return 0;
}
 

 
资源下载链为: https://pan.quark.cn/s/790f7ffa6527 在一维运动场景中,小车从初始位置 x=-100 出发,目标是到达 x=0 的位置,位置坐标 x 作为受控对象,通过增量式 PID 控制算法调节小车的运动状态。 系统采用的位置迭代公式为 x (k)=x (k-1)+v (k-1) dt,其中 dt 为仿真过程中的恒定时间间隔,因此速度 v 成为主要的调节量。通过调节速度参,实现对小车位置的精确控制,最终生成位置 - 时间曲线的仿真结果。 在参调节实验中,比例调节系 Kp 的影响十分显著。从仿真曲线可以清晰观察到,当增大 Kp 值时,系统的响应速度明显加快,小车能够更快地收敛到目标位置,缩短了稳定时间。这表明比例调节在加快系统响应方面发挥着关键作用,适当增大比例系可有效提升系统的动态性能。 积分调节系 Ki 的调节则呈现出不同的特性。实验据显示,当增大 Ki 值时,系统运动过程中的波动幅度明显增大,位置曲线出现更剧烈的震荡。但与此同时,小车位置的变化速率也有所提高,在动态调整过程中能够更快地近目标值。这说明积分调节虽然会增加系统的波动性,但对加快位置变化过程具有积极作用。 通过一系列参调试实验,清晰展现了比例系积分系在增量式 PID 控制系统中的不同影响规律,为优化控制效果提供了直观的参考依据。合理匹配 Kp Ki 参,能够在保证系统稳定性的同时,兼顾响应速度调节精度,实现小车位置的高效控制。
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