多元正态分布初识

在本科阶段的教材中，往往会有多元正态分布的公式出现，但课堂上都不会重点讲解，而在研究生入学考试中也基本不会考。但在实际应用中，多元的情况却非常常见。

本文通过对多元正态分布的公式进行拆解，来正式认识一下它。

1 多元正态分布公式

对于$D$维正态分布变量$x$，直接上它的密度公式：
$$\mathcal{N}(x|\mu ,\Sigma )=\frac{1}{(2\pi {)}^{D/2}}\frac{1}{|\Sigma {|}^{1/2}}\exp \left\{-\frac{1}{2}(x-\mu {)}^{\prime }{\Sigma }^{-1}(x-\mu )\right\}$$

其中$\mu$为$D\times 1$的均值向量，$\Sigma$为$D\times D$的协方差矩阵。

公式看起来十分复杂，相信第一次见到时，几乎所有人都会被吓到。沉住气，我们把它拆解了看。

2 公式拆解

先看最后面指数函数中的部分，其中有一个二次型：
$${\Delta }^2=(x-\mu {)}^{\prime }{\Sigma }^{-1}($$