实对称矩阵的基本性质

设$A$为$n\times n$实对称矩阵，则

• $A$的特征值都是实数；
• 不同特征值对应的特征向量相互正交；
• $A$可对角化，即存在一个正交阵（orthogonal matrix）$X$（即X’X=I）和一个对角阵Λ=diag{λ1,…,λ2}\Lambda=\text{diag}\{\lambda_1,\ldots,\lambda_2\}Λ=diag{λ1​,…,λ2​}，使得$X^{\prime }AX=\Lambda$；
• $|A|=\prod _{i=1}^n{\lambda }_i$；
• $\text{tr}(A)=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i$。