复变函数,是指以复数作为自变量和因变量的函数 ,而与之相关的理论就是复变函数论。是高数的一种进阶,更奇特有趣。复变函数一般用f(z)=u(x,y)+iv(x,y)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)表示,自变量z=x+iyz=x+iyz=x+iy。
如果函数f(z)f(z)f(z)在z0z_0z0点及z0z_0z0点的某个邻域内处处可导,那么称f(z)f(z)f(z)在z0z_0z0点解析。
如果f(z)在区域DDD内每一点解析,那么称f(z)f(z)f(z)在DDD内解析,或称f(z)f(z)f(z)是DDD内的一个解析函数,并把DDD称为f(z)f(z)f(z)的解析区域。函数在一点可导,不一定在该点处解析(必须是这个点的环绕区域都可导)(解析看来是一个面概念,就叫面可导吧)。
如果函数f(z)f(z)f(z)在点z0z_0z0处不解析,但在点z0z_0z0的每一邻域内,总有若干个点使f(z)f(z)f(z)解析,则z0z_0z0称为f(z)f(z)f(z)的奇点。z0z_0z0附近都是处处解析的,则称其为孤立奇点。例如f(z)=1zf(z)=\frac{1}{z}f(z)=z1的z=0z=0z=0点。z0z_0z0附近都是处处解析的,则称其为孤立奇点。但是可以在这个点展开成洛朗级数,如果其负幂项均为零,则称为可去奇点。若负幂项有限,则称为m阶奇点。
函数解析的方程实质就是:limΔ→0Δu+iΔvΔx+iΔy=f′(z)\lim_{\Delta\rightarrow0}\frac{\Delta u+i\Delta v}{\Delta x+i\Delta y}=f'(z)Δ→0limΔx+iΔyΔu+iΔv=f′(z)
令Δy=0,Δx→0\Delta y=0,\Delta x\rightarrow 0Δy=0,Δx→0变为沿平行实轴的方向趋向于点zzz,此时有:limΔx→0ΔuΔx+ilimΔx→0ΔvΔx=f′(z)\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\Delta u}{\Delta x}+i\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\Delta v}{\Delta x}=f'(z)Δx→0limΔxΔu+iΔx→0limΔxΔv=f′(z)δuδx+iδvδx=f′(z)
\frac{\delta u}{\delta x}+i\frac{\delta v}{\delta x}=f'(z)δxδu+iδxδv=f′(z)同理有:−iδuδy+δvδy=f′(z)-i\frac{\delta u}{\delta y}+\frac{\delta v}{\delta y}=f'(z)−iδyδu+δyδv=f′(z),一一对应,就有柯西-黎曼方程/柯西-黎曼条件(C-R条件,见下),这是函数解析的必要条件(偏导数存在只是一条线存在,函数解析是从四面八方都存在):
∂u∂x=∂v∂y,∂u∂y=−∂v∂x\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}∂x∂u=∂y∂v,∂y∂u=−∂x∂v
这个方程仅仅是从两条轴进去的。复变函数解析不仅满足C−RC-RC−R方程而且还必须是可微分的(uuu和vvv具有一阶连续偏导数),这就是函数解析的充要条件。
拉普拉斯方程(连续求偏导所致):
∂2u∂x2+∂2u∂y2=0,∂2v∂x2+∂2v∂y2=0\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=0,\frac{\partial^2v}{\partial x^2}+\frac{\partial^2v}{\partial y^2}=0∂x2∂2u+∂y2∂2u=0,∂x2∂2v+∂y2∂2v=0
凡在区域DDD内具有连续二阶偏导数而满足拉普拉斯方程的二元实函数u(x,y)u(x,y)u(x,y),称为区域DDD的调和函数,调和函数在每一个球体(球壳)的平均值就是圆心那一点的值。还有很多实用性质。
复变函数的积分
对曲线的积分,不要想着复数,想成二变量就可以了。就是∫cf(z)dz\int_cf(z)dz∫cf(z)dz。做法仍然是置换成一个ttt而已。
柯西积分定理,格林公式,实际上跟高数是一样的。
解析函数在其解析区域有任意阶导数。
级数
复数的级数而已。就是∑n=1∞zn\sum^\infty_{n=1}z_n∑n=1∞zn而已。但其收敛是在一个面上的。幂级数与泰勒级数有关,的确是如此。
洛朗级数是有负幂项的幂级数,是幂级数的扩展而已。也有洛朗展开定理。感觉差不多唉。
留数
留数实际上是在孤立奇点处的闭曲线积分。在定积分计算中有用。
留数也称残数,指的是复变函数沿着孤立奇点附近的围线积分后所剩下的值除以2(pai)i. 所以称为留数(或残数).
由于复变函数沿着解析点附近的围线积分的值为0,不剩下多余的数,而复变函数沿着孤立奇点附近的围线积分就可能不为0,会剩下非0的值,因此留数(或残数)就用来衡量复变函数在孤立奇点附近的特性了.
另外,复变函数f(z)在孤立奇点z0的留数(或残数)也就是复变函数在孤立奇点的Laurent洛朗级数中1/(z-z0)的系数.
保形映射
因为复变函数输入是复数,输出也是复数,因此可以看作一个点集到另一个点集的映射。
在这片自变量解析区域中,一条曲线z=z(t)z=z(t)z=z(t),这里zzz是复数,ttt是实数,这条曲线就会有切角,同样这条曲线会映射到因变量解析区域中,也会有切角,那么:
Argw′(t0)=Argf′[z(t0)]+Argz′(t0)Argw'(t_0)=Argf'[z(t_0)]+Arg z'(t_0)Argw′(t0)=Argf′[z(t0)]+Argz′(t0)
蛮神奇的哈,ArgArgArg自然是角度了,也就是说www点处的切向量与zzz切向量的辐角之差总是Argf′(z)Argf'(z)Argf′(z),一个固定值,而与曲线CCC无关。称Argf′(z)Argf'(z)Argf′(z)为f(z)f(z)f(z)在zzz点的旋转角,因为只要旋转这个角度就能得到因变量的角。
那么也就是说,如果过一个点有两条曲线,它们的夹角,到因变量解析区域后,这个夹角是不变的,这就是保角的。它的条件是解析区域和复变函数倒数在这点不能为0.
而两个弧长极限之比为∣f′(z0)∣|f'(z_0)|∣f′(z0)∣,也叫伸缩率。
如果解析区域半径足够小的话,一个普通图形映射后可以看作保持形状的映射图形,凡在区域D内处处具有保角性和伸缩率不变性的一一映射成为保型映射。
分式线性映射
形如w=az+bcz+dw=\frac{az+b}{cz+d}w=cz+daz+b,这里w,zw,zw,z是变量,a,b,c,da,b,c,da,b,c,d是普通复数。
傅里叶变换
这个说烂了,跟复变没关系其实,
广义傅里叶变换
卷积
拉普拉斯变换
算子微分学
是傅里叶变换的补足,可以在条件更弱的情况下进行,有一个单位阶跃函数的东西。