二项式系数 & 递推关系初步

二项式系数

1.       Pascal公式：C( n, k ) = C( n-1, k ) + C( n-1, k-1)

2.       一些恒等式

a.       k*C( n, k ) = n*C(n-1. k-1 )

b.      C(n, 0) – C(n, 1) + C(n, 2) - … + (-1)ⁿC(n, n) = 0  (n>=1)

c.       1*C(n, 1) + 2*C(n, 2) + 3*C(n, 3) + … + n*C(n, n) = n*2^n-1

d.      Vandermonde卷积：

C(2n, n) = C(n, 0)²+ C(n, 1)²+ C(n, 2)²+ … + C(n, n)²

3.       多项式定理

a.       (x₁+ x₂+…+ x_t)ⁿ中，项x₁ⁿ¹x₂ ⁿ²…x_t ^nt的系数是n! / (n₁!* n₂!*… *n_t!)

b.      运用Pascal定理描述，

c.        n! / (n₁!* n₂!*… *n_t!) = n!/[ ( (n₁-1)!* n₂!*… *n_t!) ( n₁!*( n₂-1)!*… *n_t!)… ( n₁!*( n₂-1)!*… *(n_t-1)! ) ]

4.       牛顿二项式定理：(x+y)ⁿ = ∑C(n, k)x^ky^n-k

a.       (x+y)ⁿ = y^a(z+1)^a = y^a*∑C(a, k)z^k。其中z = x/y

b.      例如 计算sqrt(20)的展开式

递推关系初步

1.       斐波那契数列部分和S_n = f₀+f₁+…+f_n = f_n+2 – 1

2.       线性递推关系：h_n = a₁h_n-1 + a₂h_n-2 +…+ a_kh_n-k + b_n

a.       齐次: b_n = 0

如果q是方程

        x^k – a₁x^k-1 – a₂x^k-2 -…- a_k =0

的一个根，则h_n = qⁿ是递推关系的一个解

如果方程有k个非零根且互异，则

h_n = c₁q₁ⁿ + c₂q₂ⁿ + … +c_kq_kⁿ 是一般解

该方程称为 特征方程

如果q_i是s_i的重根，则一般解围

        h_n = H_n⁽¹⁾ + H_n⁽²⁾ +…+ H_n^(t)

        H_n^(t) = (c₁ + c₂n + … +c_sn^st-1)q_tⁿ

例如h_n = -h_n-1 + 3h_n-2 + 5h_n-3 + 2h_n-4 满足h₀ =1, h₁ =0, h₂ =1, h₃ =2的解

        做x⁴ + x³ – 3x² -5x-2 =0

        方程的根是-1， -1， -1， 2。

        对于-1的部分解是

                        H_n⁽¹⁾ = c₁(-1)ⁿ + c₂n(-1)ⁿ + c₃n²(-1)ⁿ

        最终的一般解为

                        H_n = c₁(-1)ⁿ + c₂n(-1)ⁿ + c₃n²(-1)ⁿ + c₄2ⁿ

b.      非齐次

                       i.      求出齐次关系的一般解

                       ii.      求出非齐次关系的一个特解

                       iii.      合并，求出常数项

难点在于找出特解